فهرست انتگرال تابع‌های نمایی

در ادامه فهرستی از انتگرال تابع‌های نمایی آمده‌است؛ برای آگاهی از فهرستی کامل تر، صفحهٔ فهرست انتگرال‌ها را نگاه کنید.

انتگرال نامعین

در این روابط باید در سمت راست یعنی پاد مشتق مقدار ثابت انتگرال لحاظ شود، ولی در برخی از روابط زیر برای ساده‌نویسی نوشته نشده‌است.

\int e^{x}\;\mathrm {d} x=e^{x}

\int e^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}e^{cx}

\int a^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c\cdot \ln a}}a^{cx}

for

a>0,\ a\neq 1

\int xe^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)

\int x^{2}e^{cx}\;\mathrm {d} x=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)

\int x^{n}e^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}\mathrm {d} x=\left({\frac {\partial }{\partial c}}\right)^{n}{\frac {e^{cx}}{c}}

\int {\frac {e^{cx}}{x}}\;\mathrm {d} x=\ln |x|+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{n}}{n\cdot n!}}

\int {\frac {e^{cx}}{x^{n}}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}\,\mathrm {d} x\right)\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}

\int e^{cx}\ln x\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)

\int e^{cx}\sin bx\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)

\int e^{cx}\cos bx\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)

\int e^{cx}\sin ^{n}x\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;\mathrm {d} x

\int e^{cx}\cos ^{n}x\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;\mathrm {d} x

\int xe^{cx^{2}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}

\int e^{-cx^{2}}\;\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{4c}}}{\mbox{erf}}({\sqrt {c}}x)

که ${\mbox{erf}}$ همان تابع خطا یا Error function است.

\int xe^{-cx^{2}}\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2c}}e^{-cx^{2}}

\int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\left({\mbox{erf}}\,{\frac {-x+\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)

\int e^{x^{2}}\,\mathrm {d} x=e^{x^{2}}\left(\sum _{j=0}^{n-1}c_{2j}\,{\frac {1}{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\;\mathrm {d} x\quad {\mbox{valid for }}n>0,

که

c_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {(2j)\,!}{j!\,2^{2j+1}}}\ .

{\int \underbrace {x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{m}\,dx=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}(n+1)^{n-1}}{n!}}\Gamma (n+1,-\ln x)+\sum _{n=m+1}^{\infty }(-1)^{n}a_{mn}\Gamma (n+1,-\ln x)\qquad {\mbox{(for }}x>0{\mbox{)}}}

^[۱]^{^{[نیازمند شفاف‌سازی]}}

where

a_{mn}={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\{\frac {1}{n!}}&{\text{if }}m=1,\\{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}ja_{m,n-j}a_{m-1,j-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}

\int {\frac {1}{ae^{\lambda x}+b}}\;\mathrm {d} x={\frac {x}{b}}-{\frac {1}{b\lambda }}\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\,

هرگاه

b\neq 0

,

\lambda \neq 0

, و

ae^{\lambda x}+b>0\,.

\int {\frac {e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x}+b}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}\lambda }}\left[ae^{\lambda x}+b-b\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\right]\,

هرگاه

a\neq 0

,

\lambda \neq 0

, and

ae^{\lambda x}+b>0\,.

انتگرال معین

\int _{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm {d} x={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}

برای

a>0,\ b>0,\ a\neq b

, که همان میانگین لگاریتمی است.

\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}(a>0)

\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi  \over a}}\quad (a>0)

(انتگرال گوسی)

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi  \over a}}\quad (a>0)

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-2bx}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}}{a}}\quad (a>0)

(نگاه کنید به انتگرال تابع‌های گوسی)

\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-a(x-b)^{2}}\,\mathrm {d} x=b{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}

\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi  \over a^{3}}}\quad (a>0)

\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)/a^{\frac {n+1}{2}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}&(n=2k,k\;{\text{integer}},a>0)\\{\frac {k!}{2a^{k+1}}}&(n=2k+1,k\;{\text{integer}},a>0)\end{cases}}

(!! is the double factorial)

\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,a>0)\\\end{cases}}

\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)

\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)

\int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)

\int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)

\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)

(

I_{0}

تابع بسل اصلاح شده از نوع نخست است)

\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)

منابع

↑ Weisstein, Eric W. "Power Tower". MathWorld.

ردمایی‌ها

[1] Weisstein, Eric W. "Power Tower". MathWorld.

[۱]

ن ب و حسابان
پیش حسابان	بسط دوجمله‌ای تابع مقعر تابع پیوسته فاکتوریل تفاضل محدود متغیر آزاد و متغیر پابند نمودار تابع Linear function رادیان قضیه رول سکانت شیب مماس
حد (ریاضی)	شکل نامعلوم حد تابع حد یک-طرفه حد دنباله مرتبه تخمین حد تابع
حساب دیفرانسیل	مشتق دیفرانسیل (ریاضیات) معادله دیفرانسیل عملگر دیفرانسیلی قضیه مقدار میانگین نمادگذاری‌های مشتق Leibniz's notation نمادگذاری‌های مشتق قواعد دیفرانسیل گیری linearity Power قواعد دیفرانسیل گیری قاعده زنجیری قاعده هوپیتال قاعده ضرب General Leibniz's rule قاعده خارج قسمت Other techniques تابع ضمنی Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates نقاط مانا First derivative test Second derivative test Extreme value theorem بیشینه و کمینه کاربرد های دیگر روش نیوتن قضیه تیلور
انتگرال	پاد مشتق طول قوس انتگرال Constant of integration Differentiation under the integral sign قضیه اساسی حسابان Differentiating under the integral sign انتگرال‌گیری جزء به جزء Integration by substitution جانشینی مثلثاتی تغییر متغیر اویلر Weierstrass Partial fractions in integration Quadratic integral قانون ذوزنقه حجم‌ها Washer method روش پوسته
حساب برداری	مشتق‌ها تاو (ریاضی) مشتق جهت‌دار دیورژانس گرادیان عملگر لاپلاس قضایای پایه‌ای قضیه گرادیان قضیه گرین Stokes' قضیه دیورژانس
حساب چندمتغیره	قضیه دیورژانس Geometric ماتریس هسین ماتریس ژاکوبی ضرایب لاگرانژ انتگرال خطی حساب ماتریس‌ها انتگرال چندگانه مشتق جزئی انتگرال سطحی انتگرال حجمی مباحث پیشرفته Differential forms Exterior derivative قضیه استوکس حساب تنسوری
دنباله و سری	Arithmetico–geometric sequence انواع سری Alternating سری دو جمله‌ای سری فوریه سری هندسی سری هارمونیک سری (ریاضیات) سری توانی بسط تیلور بسط تیلور Telescoping آزمون‌های همگرایی Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison آزمون نسبت Root آزمون جمله
توابع خاص و اعداد	عدد برنولی E (عدد) تابع نمایی لگاریتم طبیعی تقریب استرلینگ
تاریخچه حسابان	Adequality بروک تیلور کولین مک‌لورین Generality of algebra گوتفرید لایبنیتس بی‌نهایت کوچک حسابان آیزاک نیوتن Fluxion Law of Continuity لئونارد اویلر Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
لیست‌ها	قواعد دیفرانسیل گیری فهرست انتگرال تابع‌های نمایی فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی فهرست انتگرال تابع‌های گنگ فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی فهرست انتگرال توابع گویا فهرست انتگرال توابع مثلثاتی Secant Secant cubed فهرست حدها فهرست‌های انتگرال‌ها
موضوعات متفرقه	هندسهٔ دیفرانسیل انحنا of curves of surfaces Euler–Maclaurin formula Gabriel's Horn برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid