Technopedia Center
PMB University Brochure
Faculty of Engineering and Computer Science
S1 Informatics S1 Information Systems S1 Information Technology S1 Computer Engineering S1 Electrical Engineering S1 Civil Engineering

faculty of Economics and Business
S1 Management S1 Accountancy

Faculty of Letters and Educational Sciences
S1 English literature S1 English language education S1 Mathematics education S1 Sports Education
teknopedia

url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url
  2. Weltenzyklopädie
  3. نسبیت عام - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
نسبیت عام - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
این یک مقالهٔ خوب است. برای اطلاعات بیشتر اینجا را کلیک کنید.
بررسی‌شده
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از نظریه نسبیت عام)

برای نوشتاری مقدماتی‌تر، آشنایی با نسبیت عام را ببینید.
بخشی از سری مقالات در مورد:
نسبیت عام
Spacetime curvature schematic
معادلات میدان اینشتین
  • ریاضیات نسبیت عام
مفاهیم بنیادین
پدیده‌ها
فضازمان
  • معادلات
  • فرمالیسم‌ها
معادلات
فرمالیسم‌ها
نظریه پیشرفته
حل‌ها
قضایا
دانشمندان
یک سیاهچالهٔ شبیه‌سازی‌شده با ۱۰ جرم خورشیدی که از فاصلهٔ ۶۰۰ کیلومتری دیده می‌شود و در زمینه هم کهکشان راه شیری قرار دارد

نسبیت عام (به انگلیسی: General relativity) نظریه‌ای هندسی برای گرانش است که در سال ۱۹۱۵[۱] توسط آلبرت اینشتین منتشر شد و توصیف کنونی گرانش در فیزیک نوین است. این نظریه تعمیمی بر نظریهٔ نسبیت خاص و قانون جهانی گرانش نیوتون است که توصیف یکپارچه‌ای از گرانش به‌عنوان یک ویژگی هندسی فضا–زمان ارائه می‌دهد.

این نظریه، گرانش را به‌عنوان یک عامل هندسی و نه یک نیرو بررسی می‌کند. در این نظریه، فضا–زمان توسط هندسهٔ ریمانی بررسی می‌شود. خمش فضازمان مستقیماً با انرژی و تکانهٔ کل ماده و تابش موجود متناسب است. این رابطه توسط سیستمی از معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای به نام معادلات میدان اینشتین نمایش داده می‌شوند. پایهٔ نظری گرانش در کیهان‌شناسی، این نظریه و تعمیم‌های آن است.

نظریهٔ اینشتین جنبه‌های اخترفیزیکی مهمی دارد. مثلاً این نظریه وجود سیاهچاله‌ها را به‌عنوان وضعیت پایانی ستاره‌های بزرگ پیش‌بینی می‌کند. شواهد گسترده‌ای موجود است که تابش بسیار شدید منتشرشده از برخی انواع اجسام اخترفیزیکی ناشی از وجود سیاهچاله‌ها است. مثلاً ریزاختروش‌ها و هستهٔ کهکشانی فعال، به‌ترتیب نتیجهٔ وجود سیاهچاله‌های ستاره‌وار و سیاه‌چاله‌های کلان‌جرم هستند. خم شدن نور بر اثر گرانش می‌تواند منجر به پدیدهٔ همگرایی گرانشی شود که بر اثر آن چندین تصویر از یک جسم اخترفیزیکی دوردست در آسمان دیده می‌شود. نسبیت عام همچنین وجود امواج گرانشی را پیش‌بینی می‌کند که مشاهدهٔ آن‌ها برای نخستین بار در سال ۲۰۱۶ و پس از گذشت صد سال از پیش‌بینی اینشتین در مورد وجود این امواج، به کمک تأسیسات لایگو (LIGO) صورت پذیرفت،[۲][۳] هرچند قبلاً وجود این امواج به‌طور غیرمستقیم تأیید شده‌بود.[۴] پروژه‌هایی همچون لایگو و پروژهٔ لیسایِ ناسا با هدف مشاهدهٔ مستقیم این امواج گرانشی راه‌اندازی شده‌اند. افزون بر این، نسبیت عام پایهٔ مدل‌های رایج کنونی کیهان‌شناسی، که برمبنای جهانِ در حال انبساط هستند، را تشکیل می‌دهد.

برخی از پیش‌بینی‌های نسبیت عام به میزان قابل‌توجهی با پیش‌بینی‌های فیزیک کلاسیک تفاوت دارند؛ به‌ویژه آن‌هایی که مرتبط با گذر زمان، هندسهٔ فضا، حرکت اجسام در سقوط آزاد و انتشار نور هستند. پدیده‌هایی چون اتساع زمان گرانشی، انتقال به سرخ گرانشی نور و تأخیر زمانی گرانشی که ناشی از کندتر بودن گذر زمان در نزدیکی میدان‌های گرانشی قوی است، همگرایی گرانشی که به خمیده شدن نور در یک میدان گرانشی قوی اشاره دارد و حرکت تقدیمی مدار سیارات نمونه‌هایی از این تفاوت‌ها هستند. همچنین تعریف جرم در نسبیت عام به سادگی فیزیک کلاسیک و حتی نسبیت خاص نیست، در واقع در نسبیت عام نمی‌توان تعریفی کلی برای جرم یک سامانه ارائه داد و تعریف‌های گوناگونی همچون جرم اِی‌دی‌اِم، جرم کُمار و جرم بوندی پدید آمده‌اند.

محدودیت سرعت اجسام مادی به سرعت نور در نسبیت عام، پیامدهایی در مورد ساختار سببی فضازمان دربردارد، زیرا تأثیر رویدادها و در نتیجه علّیت نیز محدود به سرعت نور می‌باشند. این محدودیت در نسبیت عام به تعریف افق‌ها می‌انجامد که مرزبندی‌هایی در فضازمان هستند. از جملهٔ افق‌ها می‌توان به افق ذره و افق رویداد اشاره کرد که به ترتیب برخی نواحی از گذشته و آینده را غیرقابل دسترسی می‌نمایند.

یکی از ویژگی‌های ابهام‌آمیز نسبیت عام تکینگی‌ها هستند که در آن‌ها هندسهٔ فضازمان تعریف نشده‌است. برخی از پاسخ‌های معادلات میدان اینشتین، مانند پاسخ شوارتزشیلد و پاسخ کر تکینگی‌های آینده (تکینگی‌های سیاهچاله‌ها) و برخی دیگر مانند پاسخ فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر تکینگی‌های گذشته (تکینگی مهبانگ) را مشخص می‌کنند. ماهیت تکینگی‌ها همچنان در هالهٔ ابهام قرار دارد، هرچند که تلاش‌هایی در زمینه توصیف ساختار آن‌ها صورت گرفته‌است.

پیش‌بینی‌های نسبیت عام در تمام مشاهدات و آزمایش‌هایی که تا به امروز انجام گرفته‌است، تأیید شده‌اند. نسبیت عام تنها نظریهٔ نسبیتی موجود برای گرانش نیست، بلکه ساده‌ترین نظریه‌ای است که با داده‌های تجربی همخوانی دارد. هرچند که پرسش‌هایی هستند که هنوز بی‌پاسخ مانده‌اند و شاید پایه‌ای‌ترین آن‌ها این باشد که چگونه می‌توان نسبیت عام را با قوانین فیزیک کوانتومی آشتی داد تا بتوان به نظریه‌ای کامل و خودسازگار برای گرانش کوانتومی دست یافت.

تاریخچه

اندکی پس از انتشار نظریه نسبیت خاص در سال ۱۹۰۵، اینشتین در این اندیشه بود که چگونه می‌تواند گرانش را در چارچوب نسبیتی جدیدش جای دهد. در سال ۱۹۰۷ با شروع از یک آزمایش فکری شامل یک مشاهده‌گر در سقوط آزاد، جستجویی هشت ساله برای دستیابی به نظریه‌ای نسبیتی برای گرانش را آغاز کرد. پس از اشتباهات و انحرافات متعدد سرانجام کار او در قالب آنچه امروزه معادلات میدان اینشتین می‌خوانیم، حاصل داد و در نوامبر ۱۹۱۵ به آکادمی علوم پروشن ارائه شد. این معادلات بیان می‌کنند که چگونه هندسهٔ فضا و زمان از کل ماده و تابش موجود تأثیر می‌پذیرد و هسته نسبیت عام اینشتین را تشکیل می‌دهند.[۵]

معادلات میدان اینشتین غیرخطی هستند و از این رو یافتن پاسخ برای آن‌ها بسیار دشوار است. در حل مسائل مربوط به اولین پیش‌بینی‌های نظریه اش، اینشتین از روش‌های تقریبی استفاده نمود. اما دیری نپایید که در سال ۱۹۱۶ اخترفیزیکدانی به نام کارل شوارتزشیلد نخستین پاسخ غیر بدیهی برای معادلات اینشتین را پیدا کرد که با نام متریک شوارتزشیلد شناخته می‌شود. این پاسخ امکان توصیف مراحل نهایی رمبش گرانشی و تشکیل اجسامی که امروزه به نام سیاهچاله می‌شناسیم، را فراهم نمود. در همان سال نخستین گام‌ها برای تعمیم پاسخ شوارتزشیلد به اجسام باردار آغاز شد. نتیجه این تلاش‌ها متریک رایسنر–نوردشتروم بود که امروزه با سیاهچاله‌های دارای بار الکتریکی مرتبط است.[۶] در سال ۱۹۱۷ اینشتین نظریه‌اش را در مورد جهان به‌عنوان یک کل به کارگرفت و شاخه کیهان‌شناسی نسبیتی را پایه‌گذاری نمود. در آن زمان اینشتین در راستای اندیشهٔ غالب عصر خود جهان را ایستا می‌پنداشت و به همین دلیل پارامتر جدیدی– ثابت کیهانی – را به معادلات اولیهٔ خود افزود تا بتواند آن مشاهده را در نظریه‌اش تکرار نماید.[۷] اما تا سال ۱۹۲۹ در نتیجهٔ کار هابل و سایرین مشخص شده بود که جهان ما در حال انبساط است. انبساط جهان به خوبی توسط بسط جواب‌های کیهانی که توسط الکساندر فریدمان در سال ۱۹۲۲ ارائه شد و نیازی به ثابت کیهانی ندارند، قابل توضیح است. با استفاده از این جواب‌ها لومتر اولین نسخه از نظریه مهبانگ را فرمول‌بندی کرد که در آن جهان از یک حالت بی‌نهایت داغ و چگال اولیه به وجود آمده‌است.[۸] بعدها اینشتین ثابت کیهانی را بزرگ‌ترین اشتباه زندگی خود خواند.[۹]

در خلال آن دوران، نسبیت عام کنجکاوی بسیاری از فیزیک‌دانان نظری را برانگیخته بود. این نظریه به وضوح از گرانش نیوتن برتر بود زیرا با نسبیت خاص سازگار بود و از عهده توضیح بسیاری از پدیده‌هایی برمی‌آمد که نظریه نیوتنی از توضیح آن‌ها ناتوان بود. خود اینشتین در سال ۱۹۱۵ نشان داد که چگونه نظریه‌اش حرکت تقدیمی غیرعادی حضیض خورشیدی سیاره تیر را بدون استفاده از هیچ‌گونه پارامتر اختیاری توجیه می‌کند.[۱۰] به‌طور مشابهی در سال ۱۹۱۹، طی اکتشافی که توسط ادینگتون صورت گرفت، پیش‌بینی نسبیت عام در مورد انحراف نور ستاره‌ها در طی خورشیدگرفتگی ۲۹ مه ۱۹۱۹، تأیید گردید.[۱۱] و باعث شهرت فوری اینشتین شد.[۱۲] اما تنها با گسترش‌هایی که بین سال‌های ۱۹۶۰ تا ۱۹۷۵ صورت گرفت این نظریه وارد جریان اصلی فیزیک نظری و اخترفیزیک شد و از این رو، این دوره را عصر طلایی نسبیت عام می‌خوانند.[۱۳] به تدریج فیزیکدانان مفهوم سیاهچاله را درک نمودند و اختروش‌ها را به‌عنوان نمونه‌ای از تجلی اخترفیزیکی این مفهوم شناسایی کردند.[۱۴] آزمایش‌هایی دقیق‌تر از همیشه بر روی منظومه شمسی قدرت پیش‌بینی نظریه را تأیید کردند[notes ۱] و گرایش‌هایی برای استفاده از کیهان‌شناسی نسبیتی برای هدایت آزمایش‌های مشاهده‌ای به‌وجود آمد.[notes ۲]

از مکانیک کلاسیک تا نسبیت عام

نسبیت عام را می‌توان با بررسی شباهت‌ها و تفاوت‌هایش با فیزیک کلاسیک درک نمود. نخستین گام این است که متوجه شویم که مکانیک کلاسیک و قانون گرانش نیوتن به‌طور ضمنی یک توصیف هندسی را می‌پذیرند. با ترکیب این توصیف با قوانین نسبیت خاص به نسبیت عام می‌رسیم.[notes ۳]

هندسه گرانش نیوتنی

بنا بر نسبیت عام، اجسام در یک میدان گرانشی همانند اجسام در یک محفظه بسته شتاب‌دار رفتار می‌کنند. مثلاً اگر شتاب موشک به اندازه‌ای باشد که همان نیروی نسبی گرانش زمین را داشته باشد، افتادن یک توپ در درون یک موشک (چپ) همانند افتادن یک توپ در نقطه‌ای روی زمین (راست) خواهد بود.

بنیان فیزیک کلاسیک بر این مفهوم استوار است که حرکت یک جسم را می‌توان ترکیبی از حرکت آزاد جسم (یا حرکت لخت) و انحراف‌هایی از این حرکت لخت دانست. این انحراف‌ها ناشی از نیروهای خارجی است که بر جسم وارد می‌شوند و بر طبق قانون حرکت دوم نیوتن عمل می‌کنند. قانون دوم نیوتن بیان می‌کند که نیروی خالص وارد بر یک جسم برابر با جرم (لختی) آن ضرب در شتاب جسم است.[۱۵] نوع حرکت لخت جسم با هندسه فضا و زمان مرتبط است: در چارچوب‌های مرجع استاندارد فیزیک کلاسیک حرکت لَخت اجسام در خط مستقیم و با سرعت ثابت انجام می‌شود. در ادبیات فیزیک مدرن مسیرهای حرکت لَخت اجسام ژئودزیک نامیده می‌شوند که تعمیمی از مفهوم خط راست در هندسهٔ فیزیک کلاسیک هستند، جهان‌خط‌های مستقیم در فضازمان خمیده.[۱۶]

در روندی معکوس ممکن است این انتظار وجود داشته باشد که با مشخص کردن حرکت لخت اجسام از طریق مشاهدهٔ حرکت واقعی و حذف انحراف‌های مربوط به نیروهای خارجی (مانند الکترومغناطیس و اصطکاک)، می‌توان هندسهٔ فضا و همچنین مختصات زمان را تعریف کرد، اما وقتی پای گرانش به میان می‌آید این موضوع کمی ابهام‌آمیز می‌شود. بر طبق قانون گرانش نیوتن و تأیید آزمایش‌های مستقلی مانند آزمایش لورند اوتوو و سایرین، سقوط آزاد جهان‌شمول است (این قانون همچنین با نام اصل ضعیف هم‌ارزی یا قانون جهانی برابری جرم لختی و جرم غیرفعال گرانشی شناخته می‌شود): مسیر حرکت ذره آزمون در سقوط آزاد تنها به مکان و سرعت اولیه اش بستگی دارد و به هیچ‌یک از ویژگی‌های مادی‌اش وابسته نیست.[۱۷] نسخه‌ای ساده شده از این مفهوم را می‌توان در آزمایش آسانسور انیشتین یافت که در تصویر سمت چپ دیده می‌شود: ناظری که در یک اتاق بسته کوچک قرار گرفته غیرممکن است که تنها با بررسی مسیر سقوط آزاد جسمی مانند یک توپ بتواند بفهمد که آیا محفظه، در حال سکون و در یک میدان گرانشی قرار دارد یا اینکه در فضای آزاد سوار بر موشکی شتاب‌دار است که نیرویی به اندازه گرانش ایجاد می‌کند.[۱۸]

با توجه به جهان‌شمول بودن گرانش، تمایز قابل مشاهده‌ای بین حرکت لخت و حرکت ناشی از نیروی گرانشی وجود ندارد. این موضوع ما را بر آن می‌دارد که کلاس جدیدی از حرکت لخت برای اجسام در حال سقوط آزاد تحت تأثیر نیروی گرانش تعریف کنیم. این کلاس جدید نیز، به نوبه خود، هندسه‌ای از فضا و زمان به زبان ریاضی تعریف می‌کند که عبارت است از حرکت ژئودزیک متناظر با یک اتصال خاص که به گرادیان پتانسیل گرانشی بستگی دارد. در اینجا فضا هنوز هندسه اقلیدسی معمولی دارد. اما فضا–زمان، به‌عنوان یک کل، پیچیده‌تر است. همان‌طور که می‌توان با آزمایش‌های فکری ساده در مورد مسیرهای سقوط آزاد ذرات آزمون مختلف نشان داد، نتیجه جابجایی بردارهای فضازمان که بیانگر سرعت ذره هستند به مسیر ذره بستگی دارد؛ به زبان ریاضی، می‌توان گفت که اتصال نیوتنی انتگرال‌پذیر نیست. از این می‌توان نتیجه گرفت که فضا–زمان خمیده است. نتیجه، یک فرمول‌بندی هندسی از گرانش نیوتنی تنها با استفاده از مفاهیم هموردا است؛ یعنی توصیفی که در هر دستگاه مختصاتی معتبر است.[۱۹] در این توصیف هندسی اثرات کشندی – شتاب نسبی اجسام در سقوط آزاد – با مشتق اتصال مرتبط است که نشان می‌دهد چگونه تغییر شکل هندسی، برآمده از وجود جرم است.[۲۰]

تعمیم نسبیتی

مخروط نوری

بیان هندسی گرانش نیوتنی هرچند هم که جذاب باشد، اساس آن مکانیک کلاسیک، یعنی تنها حالتی حدی از مکانیک نسبیتی است.[notes ۴] به زبان تقارن: در جایی‌که بتوان گرانش را نادیده گرفت فیزیک دارای ناوردایی لورنتز است، مانند نسبیت خاص در مقایسه با مکانیک کلاسیک که دارای ناوردایی گالیله‌ای است (تقارن تعریف‌شده در نسبیت خاص گروه پوانکاره است که انتقال و چرخش را نیز شامل می‌شود). تفاوت این دو هنگامی اهمیت می‌یابد که با سرعت‌های بالا و نزدیک به سرعت نور و پدیده‌های پرانرژی سروکار داریم.[notes ۵]

ساختارهای دیگری نیز با تقارن لورنتز به میان می‌آیند. این ساختارها توسط تعدادی مخروط نور تعریف می‌گردند. مخروط‌های نور ساختاری علیتی را تعریف می‌کنند: به ازای هر رویداد A، مجموعه‌ای از رویدادها وجود دارند که می‌توانند از طریق سیگنال‌ها و برهم‌کنش‌هایی که نیاز به سرعت بیشتر از نور ندارند، روی A تأثیر گذاشته یا از آن تأثیر بگیرند (مانند B) و مجموعه رویدادهایی که این نوع برهم‌کنش با A (با سرعت پایین‌تر از سرعت نور) برایشان امکان‌پذیر نیست (مانند C). این مجموعه‌ها مستقل از ناظر هستند.[۲۱] در ارتباط با جهان‌خط‌های ذرات در حال سقوط آزاد، مخروط‌های نوری را می‌توان برای بازسازی متریک شبه‌ریمانی فضازمان استفاده نمود. به زبان ریاضی این یک ساختار همدیس است.[۲۲]

نسبیت خاص در غیاب گرانش تعریف می‌شود و به همین دلیل در کاربردهایی عملی در مواردی که بتوان گرانش را نادیده گرفت، مدل مناسبی خواهد بود. با ورود گرانش به صحنه و با فرض اصل هم‌ارزی ضعیف، می‌توان استدلالی مانند بخش پیشین ارائه داد: چارچوب مرجع لَخت جهانی وجود ندارد. به جای آن چارچوب‌های تقریباً لختی وجود دارند که در راستای ذرات در حال سقوط آزاد حرکت می‌کنند. به زبان فضازمان: خطوط زمان‌واره مستقیمی که یک چارچوب لخت بدون گرانش را تعریف می‌کنند، تغییر شکل داده و نسبت به یکدیگر خمیدگی پیدا می‌کنند و ما را به سوی این پندار رهنمون می‌سازد که افزودن گرانش نیاز به تغییر در هندسه فضازمان دارد.[۲۳]

از پیش مشخص نیست که این چارچوب‌های جدید در حال سقوط آزاد همان چارچوب‌های مرجعی باشند که نسبیت خاص در آن‌ها حکم‌فرماست. اما با استفاده از پنداشت‌های متفاوت در مورد چارچوب‌های نسبیت خاص می‌توان به پیش‌بینی‌های متفاوتی در مورد پدیده انتقال به سرخ گرانشی، یعنی چگونگی تغییر بسامد نور در میدان گرانشی رسید. اندازه‌گیری‌های واقعی نشان داده‌اند که نور در چارچوب‌های در حال سقوط آزاد نیز مانند چارچوب‌های نسبیت خاص منتشر می‌گردد.[۲۴] تعمیم این عبارت اصل هم‌ارزی خوانده می‌شود: قوانین نسبیت خاص با تقریب خوبی در چارچوب‌های مرجع در حال سقوط آزاد (غیرچرخان) برقرارند. این اصل یک اصل هدایت‌گر مهم برای گسترش نسبیت خاص با در نظرگرفتن گرانش است.[۲۵]

همین داده‌های تجربی گواهی می‌دهند که زمانی که توسط ساعت‌های قرار گرفته در یک میدان گرانشی اندازه‌گیری می‌شود – اصطلاح تخصصی آن زمان ویژه است –، از قوانین نسبیت خاص پیروی نمی‌کند یا به بیان هندسه فضازمان، با متریک مینکوفسکی قابل اندازه‌گیری نمی‌باشند. همان‌گونه که در مورد مکانیک نیوتنی اتفاق افتاد در اینجا نیز نیازمنده هندسه کلی‌تری هستیم. در مقیاس‌های کوچک، تمام چارچوب‌های مرجع در حال سقوط آزاد هم‌ارز و تقریباً مینکوفسکی وار هستند. متعاقباً ما با تعمیمی خمیده از فضای مینکوفسکی روبه‌رو هستیم. تانسور متریک که هندسه را تعریف می‌کند – به بیان دقیق‌تر چگونگی اندازه‌گیری طول‌ها و زاویه ها–، متریک مینکوفسکی نسبیت خاص نیست؛ بلکه تعمیم یافته آن است که به نام متریک شبه–ریمانی شناخته می‌شود. همچنین هر متریک ریمانی به‌طور طبیعی با یک نوع خاص اتصال به نام اتصال لوی–چیویتا مرتبط است و این اتصال در واقع اتصالی است که اصل هم‌ارزی را ارضا کرده و فضا را به‌طور محلی، مینکوفسکی وار می‌سازد (یعنی در چارچوب‌های محلی لخت مناسب، متریک، مینکوفسکی وار است و مشتقات جزئی مرتبه اول آن و نیز ضرایب اتصال صفر هستند).[۲۶]

معادلات میدان اینشتین

مقاله‌های اصلی: معادلات میدان اینشتین و ریاضیات نسبیت عام

با وجود فرمول‌بندی نسخه نسبیتی و هندسی آثار گرانش، پرسش دربارهٔ سرچشمه گرانش همچنان پابرجاست. در گرانش نیوتنی سرچشمه گرانش، جرم است. در نسبیت خاص، جرم پاره‌ای از کمیتی بزرگتر به نام تانسور انرژی–تکانه است که شامل چگالی‌های انرژی و تکانه و تنش (که عبارت است از فشار و برش) می‌شود.[۲۷] با استفاده از اصل هم‌ارزی می‌توان این تانسور را به فضازمان خمیده تعمیم داد. چنانچه با گرانش هندسی نیوتنی مقایسه کنیم، طبیعی خواهد بود که بپنداریم معادله میدان گرانش، این تانسور را به تانسور ریچی مرتبط سازد. تانسور ریچی رده ویژه‌ای ازاثرات کشندی را توصیف می‌کند: تغییر در حجم ابرهای کوچکی از ذرات آزمون که ابتدا ساکن هستند و سپس سقوط آزاد می‌کنند. در نسبیت خاص پایستگی انرژی–تکانه متناظر با این عبارت است که تانسور انرژی–تکانه بدون واگرایی است. این فرمول را نیز می‌توان با جایگزینی مشتقات پاره‌ای با خَمینه‌های همتایشان یعنی مشتقات هَموَردای هندسه دیفرانسیل، به سادگی به فضازمان خمیده تعمیم داد. با این شرط اضافی – واگرایی هموردای تانسور انرژی–تکانه صفر است و در نتیجه هرآنچه در سوی دیگر معادله است نیز صفر خواهد شد – ساده‌ترین مجموعه معادلات، معادلاتی هستند که به نام معادلات میدان انیشتین خوانده می‌شوند.

عبارت سمت چپ تانسور اینشتین است، ترکیب ویژه بدون واگرایی از تانسور ریچی Rab و متریک. به‌طور خاص:

خمش نرده‌ای است. خود تانسور ریچی نیز با تانسور کلی‌تر خمش ریمان به شکل زیر در ارتباط است.

در سمت راست Tab تانسور انرژی–تکانه است. تمام تانسورها در شکل نمادگذاری نمایه انتزاعی نوشته شده‌اند.[۲۸] برای اینکه پیش‌بینی‌های نظریه با نتایج تجربی مشاهدات مدارهای سیاره‌ها، سازگار باشند، ثابت تناسب را می‌توان به شکل κ = ۸πG/c⁴ اصلاح نمود که در آن G ثابت گرانش و c سرعت نور است.[۲۹] هرگاه هیچ ماده‌ای موجود نباشد، به گونه‌ای که تانسور انرژی تکانه ناپدید گردد، معادلات خلاء انیشتین به دست می‌آیند:

نظریه‌های جایگزینی برای نسبیت عام بر پایه پندارهای یکسان شکل گرفته‌اند. این نظریه‌ها شامل قوانین و محدودیت‌های اضافی‌ای هستند که باعث به‌وجود آمدن شکل‌های دیگری از معادلات میدان می‌شوند. برای نمونه می‌توان به نظریه برانس دیکی، دورهمسانی یا نظریه اینشتین–کارتان اشاره کرد.[۳۰]

تعریف و کاربردهای پایه‌ای

تصویری از انحراف نور توسط یک جرم مداخله گر با توجه به معادلات انیشتین بر روی دیوار موزه تاریخ علوم بورهافه

نتیجه‌گیری‌های بخش قبلی همه اطلاعات لازم برای تعریف و توصیف ویژگی‌های کلیدی نسبیت عام را شامل می‌شود و اکنون می‌توان به سراغ چگونگی استفاده از این نظریه برای مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی رفت.

تعریف و ویژگی‌های پایه‌ای

نظریهٔ نسبیت، یک نظریه متریک برای گرانش است. در هستهٔ این نظریه معادلات اینشتین قرار می‌گیرند که رابطهٔ بین هندسهٔ یک خَمینهٔ شبه‌ریمانی چهاربعدی به‌عنوان فضازمان و انرژی–تکانه موجود در آن فضازمان را توصیف می‌کنند.[۳۱]

پدیده‌هایی که در مکانیک کلاسیک به عملکرد نیروی گرانش تعبیر می‌شوند (مانند سقوط آزاد، حرکت مداری، مسیر حرکت فضاپیما)، در نسبیت عام به حرکت‌های لخت در هندسه خمیدهٔ فضازمان نسبت داده می‌شوند. در نسبیت عام، گرانش نیرویی نیست که اجسام را از مسیر مستقیم طبیعی‌شان منحرف می‌کند، بلکه تغییری در ویژگی‌های فضا و زمان است که باعث تغییر مستقیم‌ترین مسیرهایی که اجسام به‌طور طبیعی انتخاب می‌کنند می‌شود.[notes ۶] خمش به نوبه خود توسط انرژی–تکانه ماده به‌وجود می‌آید. جان ویلر این موضوع را این گونه بیان می‌کند که فضازمان به ماده می‌گوید که چه‌طور حرکت کند و ماده نیز به فضازمان می‌گوید که چگونه خمیده شود.[۳۲]

با وجود اینکه نسبیت عام، پتانسیل گرانشی نرده‌ای فیزیک کلاسیک را با یک تانسور مرتبه دو جایگزین می‌کند، در برخی شرایط محدودتر، تانسور به میدان نرده‌ای کاهش می‌یابد. برای میدان‌های گرانشی ضعیف و سرعت‌های پایین (نسبت به سرعت نور)، پیش‌بینی‌های این نظریه به پیش‌بینی‌های قانون جهانی گرانش نیوتن همگرا می‌شوند.[۳۳]

از آنجایی‌که نسبیت عام برپایه تانسورها بنا شده‌است، هموردایی عام را به نمایش می‌گذارد: یعنی قوانین آن – و دیگر قوانینی که در چارچوب نسبیت عام فرمول‌بندی می‌شوند – در همه دستگاه‌های مختصات یک شکل خواهند داشت.[۳۴] علاوه براین، نظریه شامل هیچ ساختار پس زمینه‌ای هندسی ناوردایی نیست، یعنی مستقل از پس زمینه است. از این رو از اصل قوی تری به نام اصل نسبیت عام پیروی می‌نماید؛ این اصل بیان می‌کند که قوانین فیزیکی برای همه ناظرها یکسان هستند.[notes ۷] در مورد ساختارهای محلی، همان‌گونه که در اصل هم‌ارزی اشاره شد، فضازمان مینکوفسکی وار است و قوانین فیزیکی دارای ناوردایی محلی لورنتس هستند.[۳۵]

مدل‌سازی

هدف اصلی در مدل‌سازی با استفاده از نسبیت عام، یافتن پاسخی برای معادلات میدان اینشتین می‌باشد. با داشتن معادلات اینشتین و همچنین معادلات مناسب دیگر برای توصیف ویژگی‌های ماده، پاسخ معادلات یک خمینه شبه ریمانی (که معمولاً با استفاده از یک متریک در یک مختصات خاص تعریف می‌شود) به همراه میدان‌های ماده‌ی خاصی روی آن خمینه خواهد بود. ماده و هندسه باید در معادلات انیشتین صدق کنند، پس به‌طور خاص تانسور انرژی–تکانه باید بدون واگرایی باشد. البته ماده باید در معادلات دیگری که از طریق ویژگی‌هایش تحمیل می‌شوند نیز صدق کند. در مجموع چنین پاسخی برای این معادلات در حقیقت مدلی از جهان را نمایش خواهد داد که نسبیت عام و قوانین محتمل دیگری که بر ماده موجود حاکمند را ارضا می‌نماید.[۳۶]

معادلات اینشتین معادلات دیفرانسیل غیرخطی با مشتقات پاره‌ای هستند و به همین سبب یافتن پاسخ دقیق برای این معادلات دشوار است.[notes ۸] با این حال چند پاسخ دقیق برای این معادلات پیدا شده‌است؛ اگر چه که تنها برخی از این پاسخ‌ها کاربرد مستقیم فیزیکی دارند.[notes ۹] بهترین پاسخ‌های دقیق کشف شده که از دیدگاه فیزیکی نیز جالب‌ترند، عبارتند از: پاسخ شوارتزشیلد، پاسخ رایسنر–نوردشتروم و متریک کِر که هرکدام با یک نوع خاص سیاه‌چاله در جهانی که تنها شامل این سیاه‌چاله است، در تناظر هستند،[۳۷] و متریک فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر و جهان دو سیتر که هر دو جهان در حال انبساط را توصیف می‌کنند.[۳۸] پاسخ‌هایی که اهمیت نظری دارند عبارتند از متریک گودل (که احتمال سفر در زمان در فضازمان خمیده را مطرح می‌کند)، پاسخ تاب–نات (مدلی از جهان که همگن است اما همسانگرد نیست) و فضای پاد–دوسیتر (که به تازگی در زمینه حدس مالداسنا مورد توجه قرار گرفته‌است).[notes ۱۰]

به دلیل دشواری یافتن پاسخ‌های دقیق، معادلات میدان اینشتین را اغلب با استفاده از انتگرال‌گیری عددی به کمک رایانه یا با استفاده از روش‌های اختلالی با ایجاد انحرافات کوچک از جواب اصلی حل می‌کنند. در شاخه «نسبیت عددی»، رایانه‌های توانمندی به خدمت گرفته می‌شوند تا معادلات اینشتین را برای شرایط خاصی مثل برخورد سیاه‌چاله‌ها حل کنند.[۳۹] در اصل، چنین روش‌هایی را با در دست داشتن توان پردازشی کافی می‌توان برای هر سامانه‌ای به‌کار برد و به دنبال پاسخ برای پرسش‌هایی بنیادی همچون تکینگی‌های برهنه بود. جواب‌های تقریبی را همچنین می‌توان از طریق نظریه‌های اختلال یافت، مانند گرانش خطی‌شده[۴۰] و تعمیم آن، بسط پسانیوتنی که هردو توسط اینشتین به‌وجود آمده‌اند. بسط پسانیوتنی روش حلی سیستماتیک برای فضازمانی ارائه می‌کند که شامل توزیعی از ماده در حال حرکت با سرعتی کم نسبت به سرعت نور می‌باشد. این بسط شامل یک سری از جملات است که جمله اول نماینده گرانش نیوتنی است و جمله‌های بعدی نماینده اصلاحاتی هستند که به واسطه نسبیت عام بر گرانش نیوتنی وارد می‌شوند که مقدارشان در جملات متوالی کاهش می‌یابد.[۴۱] نسخه گسترش‌یافته این بسط، صورت‌گرایی پسا-نیوتنی پارامتری است که امکان مقایسه کمّی بین پیش‌بینی‌های نسبیت عام و نظریه‌های جایگزین را به‌وجود می‌آورد.[۴۲]

پیامدهای نظریه اینشتین

نسبیت عام پیامدهای فیزیکی چندی را به دنبال دارد. برخی از آن‌ها مستقیماً از اصول نظریه ناشی می‌شوند در حالیکه سایر آن‌ها تنها در طول نود سال پژوهشی که به دنبال انتشار نخستین نظریه توسط اینشتین آغاز شد، مشخص گشته‌اند.

اتساع زمان گرانشی و انتقال بسامد

مقالهٔ اصلی: اتساع زمان گرانشی
نمایش شماتیک انتقال به سرخ یک موج نور که از سطح یک جسم بسیار پرجرم می‌گریزد.

بافرض درستی اصل هم‌ارزی،[۴۳] گرانش بر گذر زمان اثر می‌گذارد. نوری که به درون یک چاه گرانش فرستاده می‌شود، منتقل به آبی می‌گردد. در حالی‌که نوری که در جهت مخالف فرستاده می‌شود؛ یعنی از چاه گرانش بالا می‌آید منتقل به سرخ می‌گردد. این پدیده‌ها را انتقال بسامد گرانشی می‌نامند. به‌طور کلی، فرایندهایی که در نزدیکی یک جسم پرجرم صورت می‌گیرند کندتر از فرایندهایی که در فواصل دورتر قرار دارند پیش می‌روند. این پدیده را اتساع زمان گرانشی می‌گویند.[۴۴]

انتقال به سرخ گرانشی در آزمایشگاه[notes ۱۱] و با بهره‌گیری از مشاهدات اخترفیزیکی[۴۵] اندازه‌گیری شده‌است. اتساع زمان گرانشی در میدان گرانشی زمین دفعات زیادی با بهره‌گیری از ساعت‌های اتمی بررسی شده‌است.[notes ۱۲] و به‌عنوان کاربردی جانبی برای پروژهٔ سامانه موقعیت‌یاب جهانی (GPS) این نتایج پیوسته در حال ارزیابی هستند.[۴۶] آزمونی در میدان گرانشی قوی‌تر را می‌توان با استفاده از مشاهدات تپ‌اخترهای دوتایی انجام داد.[۴۷] تمام نتایج با نسبیت عام همخوانی دارند[notes ۱۳] اما در سطح دقت کنونی این آزمایش‌ها نمی‌توانند بین نسبیت عام و سایر نظریه‌هایی که در آن‌ها اصل هم‌ارزی معتبر است تمایزی قائل شوند.[۴۸]

شکست نور و تأخیر زمانی گرانشی

مقاله‌های اصلی: همگرایی گرانشی و تأخیر شاپیرو
شکست نور (فرستاده شده از مکان آبی رنگ) نزدیک یک جسم فشرده (به رنگ خاکستری)

نسبیت عام پیش‌بینی می‌کند که مسیر نور در میدان گرانشی خم می‌شود. نوری که از نزدیکی یک جسم پرجرم می‌گذرد به سوی آن جسم خمیده می‌شود. این اثر با مشاهده نور ستارگان دور و اختروش‌ها که با گذر از کنار خورشید خمیده می‌شود، تأیید شده‌است.[notes ۱۴]

این پیش‌بینی و پیش‌بینی‌های مرتبط از این واقعیت پیروی می‌کنند که نور مسیری را که به آن نورواره (نور–مانند) یا ژئودزیک پوچ (که تعمیمی بر خطوط مستقیمی در فیزیک کلاسیک هستند که نور در راستای آن‌ها منتشر می‌شود) می‌گویند، دنبال می‌کند. چنان ژئودزیک‌هایی در واقع تعمیم ناوردایی سرعت نور در نسبیت خاص هستند.[notes ۱۵] چنانچه مدل‌های فضازمان را بررسی کنیم (چه مدل خارجی جواب شوارتزشیلد، چه مدلهایی که بیش از یک جرم دارند مثل بسط پسانیوتنی)[۴۹] آثار متعددی از گرانش بر نور جلوه خواهند نمود. اگرچه می‌توان خمش نور را از تعمیم جهانشمول بودن سقوط آزاد به نور نتیجه گرفت،[۵۰] زاویه شکستی که از نتیجه چنین محاسباتی به دست می‌آید تنها نیمی از مقداری است که از نسبیت عام به دست می‌آید.[۵۱]

تأخیر زمانی گرانشی (یا تأخیر شاپیرو) ارتباط تنگاتنگی با شکست گرانشی نور دارد. تأخیر زمانی گرانشی به پدیده‌ای اشاره دارد که طی آن گذر نور در یک میدان گرانشی مدت زمان بیشتری از گذر نور در غیاب آن میدان به طول می‌انجامد. آزمون‌های موفق بی‌شماری برای این پیش‌بینی انجام شده‌اند.[notes ۱۶] در صورت‌گرایی پارامتری پسانیوتنی (PPN)، اندازه‌گیری هر دو پدیده شکست نور و تأخیر زمانی گرانشی پارامتری به نام γ را مشخص می‌سازد، که تأثیر گرانش بر هندسه فضازمان در آن به رمز درآمده‌است.[۵۲]

امواج گرانشی

مقالهٔ اصلی: موج گرانشی
حلقه ذرات آزمون تحت تأثیر گرانش

یکی از تشابه‌های متعدد میدان گرانشی ضعیف و میدان الکترومغناطیس این است که همانند امواج الکترومغناطیسی، امواج گرانشی نیز وجود دارند: امواجی در متریک فضازمان که با سرعت نور منتشر می‌شوند.[notes ۱۷] ساده‌ترین نوع چنین موجی را می‌توان با عمل آن بر روی حلقه‌ای از ذرات که آزادانه شناورند نمایش داد. موج سینوسی که از درون چنین حلقه‌ای به سمت خواننده منتشر می‌شود به صورت ریتمیک حلقه را دچار اعوجاج می‌نماید (شکل سمت چپ را ببینید).[notes ۱۸] از آنجا که معادلات اینشتین غیرخطی هستند، امواج گرانشی که به اندازه کافی قوی باشند، از اصل برهم‌نهی پیروی نمی‌کند و این باعث دشواری توصیف آن‌ها می‌شود؛ درحالیکه برای میدان‌های ضعیف می‌توان از یک تقریب خطی استفاده نمود. این‌گونه امواج گرانشی خطی شده از دقت کافی برای توصیف امواج گرانشی بسیار ضعیفی را که انتظار می‌رود از رویدادهای کیهانی بسیار دور به ما برسد، برخوردار هستند. در روش‌های تحلیل داده‌های مربوط به این امواج، استفاده‌های فراوانی از این واقعیت می‌شود که می‌توان امواج گرانشی خطی شده را با استفاده از سری فوریه بسط داد.[۵۳]

برخی از پاسخ‌های دقیق معادلات اینشتین امواج گرانشی را بدون هیچ تقریبی توصیف می‌کنند، مثلاً قطار موجی که در فضای خالی سفر می‌کند[۵۴] یا آنچه به نام جهانهای گودی شناخته می‌شود که نسخه‌های مختلفی از یک کیهان در حال انبساط پر شده با امواج گرانشی است.[۵۵] اما برای امواج گرانشی که در موارد مربوط به اخترفیزیک، مانند ادغام دو سیاه‌چاله تولید می‌شوند، تنها راه ساخت مدل‌های مناسب در حال حاضر روشهای عددی هستند.[۵۶]

تأثیرات مداری و نسبیت جهت

نسبیت عام و مکانیک کلاسیک در شماری از پیش‌بینی‌هایشان در مورد اجسام در حرکت مداری، با یکدیگر تفاوت دارند. نسبیت عام یک چرخش کلی (حرکت تقدیمی) مدار سیارات، کاهش یافتن مدار در نتیجهٔ منتشر کردن امواج گرانشی و نیز آثار مربوط به نسبیت جهت را در مورد این مدارها پیش‌بینی می‌کند.

حرکت تقدیمی نقاط حضیض

مدار نیوتنی (قرمز) در مقابل مدار اینشتینی (آبی) یک سیاره تنها که به دور ستاره‌ای می‌گردد

در نسبیت عام، نقطه حضیض هر مدار (یعنی نقطه‌ای که در آن، جسم در حرکت مداری نزدیکترین فاصله را با گرانیگاه سامانه دارد) حرکتی تقدیمی خواهد داشت – همان‌طور که در شکل مشخص است، شکل مدار بیضی نیست بلکه شبیه به بیضی است که روی کانونش می‌چرخد و یک منحنی رز پدیدمی‌آورد –. اینشتین برای نخستین بار این نتیجه را با استفاده از یک متریک تقریبی به‌عنوان نمایندهٔ حد نیوتنی و یک ذره آزمون به‌عنوان جسم در حرکت مداری استنتاج نمود. برای او دانستن این واقعیت که نظریه‌اش توضیح مستقیمی دربارهٔ حرکت تقدیمی حضیض خورشیدی سیاره تیر – که در سال ۱۸۵۹ توسط اوربن لاوریه کشف شده بود – ارائه می‌کند، گواه مهمی بود بر اینکه او شکل درستی از معادلات میدان گرانشی را یافته‌است.[۵۷]

این اثر را می‌توان با استفاده از متریک دقیق شوارتزشیلد (که فضازمان اطراف یک جسم کروی را توصیف می‌کند).[۵۸] یا صورت‌گرایی پسا–نیوتنی نیز استنتاج نمود.[۵۹] این پدیده ناشی از تأثیر گرانش بر هندسه فضا و نقش خود–انرژی در گرانش یک جسم (که نمود آن را در غیرخطی بودن معادلات انیشتین می‌توان دید) می‌باشد.[notes ۱۹] حرکت تقدیمی نسبیتی برای تمام سیاراتی که می‌توان در آن‌ها به دقت حرکت تقدیمی را اندازه گرفت(تیر، ناهید و زمین)، مشاهده شده‌اند.[notes ۲۰] حرکت تقدیمی در تپ‌اخترهای دوتایی نیز اندازه‌گیری شده‌است که مقدار آن به اندازه پنج مرتبه بزرگی بیشتر است.[۶۰]

افت مداری

افت مداری برای پی‌اس‌آر بی۱۹۱۳+۱۶: تغییر زمان برحسب ثانیه که در طول سه دهه ردگیری شده‌است.[notes ۲۱]

بنابر نظریه نسبیت عام یک منظومه دوتایی امواج گرانشی منتشر می‌کند و از این رو انرژی از دست خواهد داد. در نتیجه این کاهش انرژی فاصله بین دو جسم در حال چرخش کاهش می‌یابد؛ و بنابراین دوره تناوب چرخش آن‌ها نیز کاهش می‌یابد. در درون منظومه شمسی یا برای جفت ستاره‌های معمولی این اثر آنقدر کوچک است که قابل مشاهده نیست. اما برای یک تپ‌اختر دوتایی که در فاصله نزدیکی قرار دارد، وضعیت این‌گونه نیست. یک تپ‌اختر دوتایی از دو ستاره نوترونی در حرکت مداری هستند تشکیل شده‌است که یکی از آن‌ها تپ‌اختر است. ناظرین روی زمین، سری منظمی از پالس‌های رادیویی از یک تپ‌اختر دریافت می‌کنند که می‌توان از آن‌ها به‌عنوان یک ساعت بسیار دقیق استفاده نمود و بدین وسیله دورهٔ تناوب مداری را اندازه گرفت. از آنجا که ستاره‌های نوترونی بسیار فشرده هستند انرژی قابل توجهی از آن‌ها به‌صورت تابش گرانشی منتشر می‌شود.[۶۱]

اولین مشاهده کاهش در دوره تناوب مداری بر اثر انتشار امواج گرانشی توسط هالس و تیلور، با استفاده از تپ‌اختر دوتایی پی‌اس‌آر بی۱۹۱۳+۱۶ که در سال ۱۹۷۴ کشف کرده بودند، انجام شد. این نخستین آشکارسازی امواج گرانشی بود که البته غیرمستقیم بود. آن‌ها به خاطر این مشاهده در سال ۱۹۹۳ موفق به کسب جایزه نوبل فیزیک شدند.[۶۲] ازآن زمان به بعد تپ‌اخترهای دوتایی متعددی مانند پی‌اس‌آر جی۰۷۳۷–۳۰۳۹ کشف شده‌اند که در ان هر دو ستاره تپ‌اختر هستند.[۶۳]

حرکت تقدیمی ژئودتیک و کشش چارچوب

مقاله‌های اصلی: کشش چارچوب و اثر ژئودزیکی

شماری از آثار نسبیتی مستقیماً به نسبیت جهت مربوط می‌شوند.[۶۴] یکی از آن‌ها حرکت تقدیمی ژئودتیک است: محور جهت یک ژیروسکوپ در حال سقوط آزاد در فضازمان خمیده، وقتی که مثلاً با جهت نور دریافت شده از ستاره‌های دوردست مقایسه می‌شود تغییر می‌کند–حتی با اینکه در اینجا ژیروسکوپ در واقع به‌عنوان نمایندهٔ روشی برای ثابت نگه‌داشتن جهت (انتقال موازی) در نظر گرفته شده‌است.[۶۵] برای سیستم ماه–زمین، این اثر با کمک محدوده بندی لیزری قمری اندازه‌گیری شده‌است.[۶۶] به تازگی برای جرم‌های آزمون سوار بر ماهواره حسگر گرانش بی با دقتی بهتر از۰٫۳٪ اندازه‌گیری شده‌است.[۶۷][notes ۲۲]

در نزدیکی یک جسم چرخنده آثاری که به نام گرانش مغناطیسی یا کشش چارچوب نامیده می‌شوند، وجود دارند. یک ناظر دور خواهد دید که اجسام نزدیک به جرم چرخنده کشیده می‌شوند. این اثر در مورد سیاهچاله‌های چرخان پررنگ‌تر است، زیرا در آن‌ها برای هر جسمی که وارد ناحیه‌ای به نام ارگوسفر می‌شود، چرخش اجتناب‌ناپذیر است.[۶۸] چنین آثاری را می‌توان با تأثیرشان بر جهت‌گیری ژیروسکوپ در حال سقوط، آزمود.[۶۹] آزمون‌های تاحدودی بحث‌انگیز نیز توسط ماهواره‌های ژئودینامیک لیزری نیز پیش‌بینی‌های نسبیت را تأیید می‌کنند.[۷۰] همچنین کاوش‌های نقشه‌بردار سراسر مریخ در اطراف مریخ نیز مورد استفاده قرارگرفته‌اند.[۷۱][۷۲]

کاربردهای اخترفیزیکی

همگرایی گرانشی

مقالهٔ اصلی: همگرایی گرانشی
صلیب اینشتین: چهار تصویر از یک جسم نجومی که بر اثر همگرایی گرانشی به‌وجود آمده‌اند.

شکست نور توسط گرانش مسبب رده جدیدی از پدیده‌های اخترفیزیکی است. اگر یک جسم پرجرم بین اخترشناس و یک شی هدف در دوردست با جرم و فاصله نسبی مناسب قرار گیرد، اخترشناس چندین تصویر معوج از آن را می‌بیند. چنین آثاری را همگرایی گرانشی می‌خوانند.[notes ۲۳] بسته به پیکربندی، مقیاس و توزیع جرم، ممکن است دو تصویر یا بیشتر، یک حلقه روشن به نام حلقه اینشتین یا چندین حلقه جزئی به نام کمان دیده شوند.[notes ۲۴] اولین نمونه همگرایی گرانشی اختروش دوقلو بود که در سال ۱۹۷۹ کشف شد.[۷۳] از آن پس بیش از صد مورد همگرایی گرانشی مشاهده شده‌است.[notes ۲۵] حتی اگر تصاویر ایجاد شده آنقدر به هم نزدیک باشند که قابل تشخیص نباشند نیز می‌توان این تأثیر را اندازه گرفت، مثلاً روشن شدن کلی جسم دور؛ چندین نمونه از این ریزهمگرایی‌های گرانشی نیز مشاهده شده‌اند.[۷۴]

همگرایی گرانشی به صورت ابزاری برای ستاره‌شناسی رصدی درآمده‌است. از همگرایی گرانشی در آشکارسازی حضور و توزیع ماده تاریک، به‌عنوان «تلسکوپ طبیعی» برای مشاهدهٔ کهکشان‌های دور و به‌دست‌آوردن تخمین مستقلی از ثابت هابل استفاده می‌کنند. ارزیابی آماری داده‌های همگرایی، بینش‌های ارزشمندی در مورد تکامل ساختاری کهکشانها عرضه می‌دارد.[۷۵]

اخترشناسی امواج گرانشی

مقالهٔ اصلی: امواج گرانشی
تصویر هنری از آشکارساز موج گرانشی فضایی لیسا

مشاهدات تپ‌اخترهای دوتایی شواهد غیرمستقیم محکمی برای وجود امواج گرانشی به دست می‌دهند. مشاهدهٔ مستقیم امواج گرانشی یکی از اهداف اصلی پژوهش‌های نسبیتی کنونی است.[۷۶] تعداد زیادی از آشکارسازهای موج گرانشی واقع بر روی زمین، هم‌اکنون در حال کار هستند که مهم‌ترین آن‌ها آشکارسازهای تداخل سنجی ژئو۶۰۰، لیگو (۳ آشکارساز)، تاما ۳۰۰ و ویرگو هستند.[۷۷] آرایه‌های زمان‌سنجی تپ‌اختر مختلفی با بهره‌گیری از تپ‌اخترهای میلی‌ثانیه‌ای برای آشکارسازی امواج گرانشی در طیف −۹۱۰ تا ۱۰−۶ هرتز (که از سیاهچاله‌های پرجرم دوتایی سرچشمه می‌گیرند) ساخته شده‌اند.[۷۸] آشکارساز فضایی اروپایی، الیسا / ان جی اُ هم‌اکنون در حال ساخت است[۷۹] و یک مأموریت آزمایشی (رهیاب لیسا) برای این پروژه نیز قرار است در سال ۲۰۱۵ به فضا پرتاب شود.[۸۰]

مشاهدهٔ امواج گرانشی در سال ۲۰۱۶

در ۱۱ فوریه ۲۰۱۶ پژوهشگران در LIGO موفق به مشاهده مستقیم امواج گرانشی برای نخستین بار شدند.[۳] موج مشاهده شده ناشی از ترکیب دو سیاه‌چاله با جرم‌های تقریبی ۳۶ و ۲۹ برابر جرم خورشید، و در فاصلهٔ تقریبی ۴۱۰ مگاپارسک (حدود ۱/۳ میلیارد سال نوری) از زمین بود.[۲] موج گرانشی ناشی از تبدیل جرمی معادل با سه برابر جرم خورشید به انرژی در هنگام ترکیب دو سیاه‌چاله با یکدیگر بود. این اولین مشاهده از ترکیب دو سیاه‌چاله با یکدیگر نیز به حساب می‌آید.

مشاهدات امواج گرانشی نویدبخش تکمیل مشاهدات مربوط به طیف الکترومغناطیسی هستند.[۸۱] انتظار می‌رود این مشاهدات بتوانند در مورد سیاهچاله‌ها و سایر اجسام چگال مانند ستاره‌های نوترونی و کوتوله‌های سفید، انواع خاصی از انفجارهای اَبَرنواختری و همچنین فرایندهایی در جهان بسیار جوان اولیه مانند امضاهای انواع خاصی از رشته‌های کیهانی فرضی، اطلاعاتی به ما بدهند.[۸۲]

سیاهچاله‌ها و سایر اجسام پرجرم

مقالهٔ اصلی: سیاهچاله

هرگاه نسبت جرم یک جسم به شعاعش به اندازه کافی بزرگ شود، بنا بر پیش‌بینی نسبیت عام، یک سیاهچاله تشکیل می‌شود. منطقه‌ای از فضا که هیچ چیز، حتی نور نمی‌تواند ازآن بگریزد. در مدل‌های پذیرفته‌شدهٔ کنونی تکامل ستارگان، گمان می‌رود که حالت پایانی تکامل ستارگان بزرگ، ستاره‌های نوترونی با جرمی در حدود ۱٫۴ جرم خورشیدی یا سیاهچاله‌های ستاره‌ای با جرمی بین چند تا چند دوجین جرم خورشیدی هستند.[۸۳] معمولاً هر کهکشان در مرکز خود یک سیاهچاله پرجرم با جرمی از چند میلیون تا چند میلیارد جرم خورشیدی دارد[۸۴] و گمان می‌رود که حضور آن‌ها نقش مهمی در شکل‌گیری کهکشان‌ها و ساختارهای کیهانی بزرگ‌تر داشته‌است.[۸۵]

شبیه‌سازی برپایه معادلات نسبیت عام: یک ستاره در حالی که امواج گرانشی منتشر می‌کند فرو می‌ریزد (رمبش گرانشی) و به سیاهچاله تبدیل می‌شود

از دید اخترشناسی مهم‌ترین ویژگی اجسام فشرده این است که مکانیزم بسیار کارایی برای تبدیل انرژی گرانشی به تابش الکترومغناطیسی ارائه می‌دهند.[۸۶] گمان می‌رود که برافزایش ماده، یعنی افتادن غبار یا مواد گازی به درون سیاهچاله‌های ستاره‌ای یا سیاهچاله‌های پرجرم؛ مسبب پیدایش اجسام فوق‌العاده درخشنده نجومی مانند هسته‌های کهکشانی فعال در مقیاس کهکشانی و اجسام در مقیاس ستاره‌ای مانند ریزاختروش‌ها، هستند.[۸۷] به‌طور خاص، برافزایش ماده می‌تواند منجر به پیدایش پدیده فواره‌های نسبیتی شود؛ پرتوهای بسیار پرانرژی از ذرات با سرعت‌هایی تقریباً برابر با سرعت نور به فضا پرتاب می‌شوند.[۸۸] نسبیت عام نقشی محوری در مدلسازی این پدیده‌ها دارد[۸۹] و مشاهدات تجربی نیز مدارک مستحکمی برای وجود سیاهچاله‌ها با خصوصیات پیش‌بینی شده در نسبیت عام، ارائه می‌کنند.[۹۰]

سیاهچاله‌ها یکی از اهدافی هستند که در کنکاش برای آشکارسازی امواج گرانشی مورد جستجو قرار می‌گیرند. ادغام سیاهچاله‌های دوتایی می‌بایست منجر به تولید امواج گرانشی بسیار قوی شود که توسط آشکارسازها در زمین قابل دریافت باشند و از فازی که دقیقاً پیش از ادغام رخ می‌دهد نیز می‌توان به‌عنوان یک شمع استاندارد استفاده نمود تا فاصله با محل رویداد ادغام به‌دست آید و بدین ترتیب می‌توان انبساط کیهانی را در فواصل بزرگ سنجید.[۹۱] امواج گرانشی تولید شده در هنگام فرورفتن یک سیاهچاله ستاره‌ای در یک سیاهچالهٔ پرجرم، می‌توانند اطلاعات مستقیمی دربارهٔ هندسهٔ سیاهچاله‌های پرجرم ارائه دهند.[۹۲]

کیهان‌شناسی

این نعل اسب آبی رنگ، یک کهکشان دور است که توسط کشش گرانشی بسیار قوی کهکشان قرمز درخشان زمینه بزرگ‌نمایی شده و به صورت یک حلقه تقریباً کامل درآمده‌است.

مدل‌های کنونی کیهان‌شناسی برپایهٔ آن دسته از معادلات میدان اینشتین که شامل ثابت کیهانی Λ هستند، بنا می‌شوند؛ زیرا ثابت کیهانی اثر مهمی در دینامیک بزرگ‌مقیاس کیهان دارد.

که در آن gab متریک فضازمان است.[۹۳] پاسخ‌های همگن و همسانگرد این معادلات بهبودیافته (متریک فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر) به فیزیکدان‌ها اجازه می‌دهد که جهانی را مدل کنند که در طول ۱۴ میلیارد سال گذشته از یک حالت بسیار داغ و چگال اولیه طی مرحله مهبانگ پدید آمده و تکامل یافته‌است.[۹۴] هرگاه اندکی از پارامترها را (مثلاً میانگین چگالی ماده در جهان) با استفاده از داده‌های مشاهدات اخترشناسی[notes ۲۶] ثابت نگه داریم، می‌توان از دیگر داده‌های مشاهداتی برای آزمودن مدل‌ها بهره بجوییم.[notes ۲۷] پیش‌بینی‌هایی که همه درست از آب درآمده‌اند عبارتند از: فراوانی اولیه عناصر شیمیایی که در جریان هسته زایی نخستین به‌وجود آمده‌اند،[۹۵] ساختار بزرگ‌مقیاس جهان[۹۶] و وجود ویژگی‌های یک «اکوی گرمایی» از کیهان اولیه به نام تابش زمینه کیهانی.[۹۷]

مشاهدات نجومی مربوط به نرخ انبساط کیهانی اجازه می‌دهند که کل مقدار ماده موجود در جهان را به دست آوریم، البته ماهیت این ماده تا حدودی اسرارآمیز است. به نظر می‌رسد که در حدود ۹۰٪ از کل ماده، از آنچه ماده تاریک خوانده می‌شود تشکیل شده‌است که جرم (یا هم ارز آن، تأثیر گرانشی) دارد اما برهمکنش الکترومغناطیسی ندارد و از این روی نمی‌توان آن را مستقیماً مشاهده نمود.[notes ۲۸] در چارچوب فیزیک ذرات یا هرشاخه دیگری، هیچ توصیفی از این نوع جدید ماده که مورد پذیرش عموم باشد، وجود ندارد.[۹۸][notes ۲۹] علاوه بر این، شواهد تجربی از انتقال به سرخ‌های ابرنواخترهای دوردست و اندازه‌گیری‌های تابش زمینه کیهانی نشان می‌دهند که تکامل جهان ما به میزان قابل توجهی متأثر از یک ثابت کیهانی است که باعث شتاب‌دار بودن انبساط کیهان می‌شود. ویا به‌طور معادل می‌توان گفت که تکامل جهان متأثر از شکلی از انرژی با معادله حالت غیرمعمول به نام انرژی تاریک است که ماهیت آن نامعلوم است.[۹۹]

در سال ۱۹۸۰ فرضیه‌ای به نام تورم کیهانی مطرح گردید که یک دوره انبساط بسیار پرشتاب در زمان کیهانی حدود ثانیه را برای جهان در نظر می‌گرفت.[۱۰۰] این فرضیه به این دلیل ارائه شد که توجیه‌کننده بسیاری از مشاهدات گیج‌کننده‌ای باشد که توسط مدل‌های کیهان‌شناسی کلاسیک قابل توضیح نبودند؛ مانند همگنی کامل تابش زمینه کیهانی.[notes ۳۰] اندازه‌گیری‌های جدید تابش زمینه کیهانی اولین مدرک برای این سناریو است.[۱۰۱] هرچند که تعداد بسیار متنوعی از سناریوهای تورمی ممکن موجود است که نمی‌توان بر مبنای مشاهدات کنونی آن‌ها را محدود نمود.[۱۰۲] فیزیک جهان اولیه پیش از فاز تورمی و نزدیک به زمانی که بنا بر پیش‌بینی‌های مدل‌های کلاسیک، در آن با تکینگی گرانشی مهبانگ روبه رو می‌شویم، خود پرسش بزرگتری است. یافتن یک جواب قطعی در گرو وجود یک نظریه کامل گرانش کوانتومی است که هنوز ایجاد نشده‌است.[۱۰۳]

مفاهیم پیشرفته

ساختار سببی و هندسه سراسری

مقالهٔ اصلی: ساختار سببی
دیاگرام پنروز–کارتر جهان مینکوفسکی بی‌نهایت.

در نسبیت عام هیچ جسم مادی نمی‌تواند به سرعت نور برسد یا از آن پیشی بگیرد. از طرفی هیچ تأثیری از رویداد A نمی‌تواند به هیچ مکان X دیگری برسد، مگر آنکه قبلاً نوری از A به X رفته باشد. در نتیجه این امر، بررسی جهان‌خط‌های نور (ژئودزیک‌های پوچ) اطلاعات کلیدی را در مورد ساختار سببی فضازمان در اختیارمان قرار می‌دهد. این ساختار را با نمودارهای پنروز–کارتر نمایش می‌دهند که در آن نواحی بینهایت بزرگ و بازه‌های زمانی بینهایت فشرده می‌شوند تا در یک نقشه متناهی جای گیرند. اما نور همانند نمودارهای استاندارد فضازمان، در راستای قطرها حرکت می‌کند.[۱۰۴]

با آگاهی از اهمیت ساختار سببی، راجر پنروز و دیگران آنچه را که امروز هندسه سراسری خوانده می‌شود بنا نهادند. در هندسه سراسری موضوع مطالعه یک پاسخ یا خانواده‌ای از پاسخ‌ها برای معادلات اینشتین نیست بلکه یافتن روابطی است که برای تمام ژئودزیک‌ها صادق اند، مانند معادله ریچادوری؛ و فرضیات غیر مشخص اضافی دربارهٔ ماهیت ماده (معمولاً در شکل آنچه شرایط انرژی خوانده می‌شود) برای تولید نتایج مورد استفاده قرار می‌گیرند.[۱۰۵]

افق‌ها

مقاله‌های اصلی: ترمودینامیک سیاهچاله، نظریه بدون مو، و افق (نسبیت عام)

با استفاده از هندسه سراسری می‌توان نشان داد که برخی از فضازمان‌ها شامل افق هستند که یک ناحیه را از بقیه فضازمان جدا می‌کند. بهترین مثال شناخته شده سیاهچاله‌ها هستند: اگر جرم در ناحیه‌ای از فضا به اندازه کافی فشرده شود (آن گونه که در حدس حلقه مشخص شده‌است، مقیاس طول مرتبط، شعاع شوارتزشیلد است[۱۰۶]) هیچ نوری از داخل نمی‌تواند به بیرون بگریزد و چون هیچ جسمی نمی‌تواند از یک پالس نوری سبقت بگیرد تمام ماده داخل افق نیز در آن محبوس‌اند. گذر از بیرون به درون هنوز امکانپذیر است که نشان می‌دهد افق سیاهچاله یک مانع فیزیکی نیست.[۱۰۷]

کارکره یک سیاهچاله چرخان

مطالعات اولیه در زمینه سیاهچاله‌ها بر پاسخهای کامل معادلات اینشتین تکیه داشتند. مثلاً می‌توان به پاسخ متقارن کروی شوارتزشیلد (برای توصیف یک سیاهچاله ایستا) و پاسخ متقارن محوری کر (برای توصیف سیاهچاله‌های ثابت چرخان و معرفی ویژگی‌های جالبی مانند کارکره) اشاره نمود. مطالعات بعدی با بهره‌گیری از هندسه سراسری، ویژگی‌های عمومی تری از سیاهچاله‌ها را آشکار ساخت. در دراز مدت آن‌ها اجسام نسبتاً ساده‌ای هستند که می‌توان آن‌ها را با یازده پارامتر که مشخص‌کننده انرژی، تکانه خطی، تکانه زاویه‌ای، مکان در زمان مشخص شده و بار الکتریکی هستند تعریف می‌گردند. نظریه بدون مو بیان می‌کند که «سیاهچاله‌ها مو ندارند»، این عبارت کنایه از این دارد که یک سیاهچاله هیچ علامت مشخصه‌ای مانند مدل مو در انسان ندارد. با وجود پیچیدگی رمبش گرانشی یک جسم که منجر به تشکیل سیاهچاله می‌شود، سیاهچاله ایجاد شده جسم بسیار ساده‌ای است.[۱۰۸]

مجموعه عمومی از قوانین به نام مکانیک سیاهچاله‌ها موجودند که مشابه قوانین ترمودینامیک هستند. مثلاً بنا بر قانون دوم مکانیک سیاهچاله‌ها، مساحت افق رویداد هرگز با زمان کاهش نمی‌یابد که قابل مقایسه با آنتروپی یک سیستم ترمودینامیکی است. این موضوع میزان انرژی را که می‌توان با روش‌های کلاسیک از یک سیاهچاله چرخان استخراج نمود (مثلاً از راه فرایند پنروز) محدود می‌سازد.[۱۰۹] شواهد قوی در دسترس است که قوانین مکانیک سیاهچاله‌ها در حقیقت زیرمجموعه‌ای از قوانین ترمودینامیک هستند و مساحت سیاهچاله با آنتروپی اش مرتبط است.[۱۱۰] این منجر به تغییراتی در قوانین اصلی مکانیک سیاهچاله‌ها می‌شود: مثلاً چنان‌که قانون دوم مکانیک سیاهچاله‌ها بخشی از قانون دوم ترمودینامیک می‌شود، مساحت سیاهچاله می‌تواند کاهش یابد به شرط آنکه فرایندهای دیگری اطمینان حاصل کنند که آنتروپی کل افزایش می‌یابد. مانند تمام اجسام ترمودینامیکی که دمای غیر صفر دارند، سیاهچاله‌ها نیز باید تابش گرمایی داشته باشند. محاسبات نیمه‌کلاسیک نشان می‌دهند که در حقیقت سیاهچاله‌ها تابش دارند و گرانش سطحی نقش دما را در قانون پلانک به عهده دارد. این تابش را به نام تابش هاوکینگ می‌خوانند.[۱۱۱]

انواع دیگری از افق‌ها نیز موجودند. در یک جهان در حال انبساط یک ناظر ممکن است نواحی از گذشته را غیرقابل مشاهده بیابد ("افق ذره")، و همچنین بعضی از نواحی آینده را نیز نمی‌توان تحت تأثیر قرارداد (افق رویداد)[۱۱۲] حتی در فضای تخت مینکوفسکی، وقتی که از دید ناظر شتابداری توصیف شود (فضای ریندلر)، افقهایی وجود خواهند داشت که با یک تابش نیمه‌کلاسیک به نام تابش اونروه مرتبط‌اند.[۱۱۳]

تکینگی‌ها

مقالهٔ اصلی: تکینگی گرانشی

یکی از ویژگی‌های عمومی نسبیت عام پیدایش مرزهایی در فضازمان به نام تکینگی است. فضازمان را می‌توان با دنبال کردن ژئودزیک‌های زمان‌واره و نورواره اکتشاف کرد– تمام مسیرهای ممکن که نور و ذرات در سقوط آزاد می‌توانند بپیمایند. اما برخی از پاسخهای معادلات اینشتین "لبه‌های پاره‌پاره" دارند – نواحی‌ای که به نام تکینگی‌های فضازمان شناخته می‌شوند و در آن‌ها مسیرهای نور و ذرات در حال سقوط به‌طور ناگهانی به پایان می‌رسد و هندسه تعریف نشده‌است. در موارد جالبتر این تکینگی‌ها، "تکینگی‌های خمش" هستند که در آن‌ها کمیتهای هندسی که ویژگی‌های خمش فضازمان را توصیف می‌کنند (مانند کمیت نرده‌ای ریچی) مقدار بی‌نهایت می‌گیرند.[۱۱۴] مثال‌های شناخته شده از فضازمان‌های دارای تکینگی آینده – که در آن جهان‌خط‌ها به پایان می‌رسند – عبارتند از پاسخ شوارتزشیلد که یک تکینگی را در درون یک سیاهچاله ایستا توصیف می‌کند،[۱۱۵] یا پاسخ کِر که یک تکینگی حلقوی را در درون یک سیاهچاله چرخان توصیف می‌کند.[۱۱۶] پاسخ فریدمان–لومتر–رابرتسون–واکر و سایر فضازمان‌هایی که جهان‌ها را توصیف می‌کنند، تکینگی‌های گذشته دارند که در آن‌ها جهان‌خط‌ها آغاز می‌شوند مانند تکینگی مه بانگ. برخی تکینگی‌های آینده نیز دارند (مانند مه‌رمب).[۱۱۷]

با دانستن اینکه این مثال‌ها همه بسیار متقارن هستند کاملاً وسوسه‌برانگیز است که نتیجه بگیریم که تکینگی مصنوع ایدئال گرایی است، اما نظریه‌های مشهور تکینگی که با استفاده از روش‌های هندسه سراسری ثابت می‌شوند نظر دیگری دارند: تکینگی‌ها ویژگی عمومی نسبیت عام هستند و در مواردی که رمبش اجسام با ویژگی‌های مادی واقعی از حدی فراتر رود[۱۱۸] و یا در ابتدای بسیاری از جهان‌های در حال انبساط[۱۱۹] اجتناب‌ناپذیر هستند. اما این نظریه‌ها چیز زیادی در مورد ویژگی تکینگی‌ها بیان نمی‌کنند و بسیاری از پژوهش‌های کنونی به مشخص کردن ساختار عمومی تکینگی‌ها اختصاص یافته‌است (مانند فرضیه تکینگی بی کی ال)[۱۲۰] فرضیه سانسور کیهانی بیان می‌کند که تکینگی‌های آینده پشت یک افق پنهان شده‌اند و از دیدرس ناظر دوردست مخفی هستند. در حالی‌که هیچ اثبات رسمی برای آن اعلام نشده‌است شبیه‌سازی‌های عددی پیشنهاد بر درستی آن می‌دهند.[۱۲۱]

معادلات تکامل

هر پاسخ به معادلات اینشتین دربرگیرنده تاریخ کامل یک جهان است و حالت ماده و هندسه را در هر جایی و هر زمانی در آن جهان توصیف می‌کند. نظریه اینشتین به دلیل هموردایی عام آن، به تنهایی برای مشخص کردن تکامل زمانی تانسور متریک کافی نیست بلکه باید با یک شرط مختصات (که قابل مقایسه با تثبیت پیمانه در سایر نظریه‌های میدان است) ترکیب شود.[۱۲۲]

برای کمک در فهمیدن معادلات اینشتین به‌عنوان معادلات دیفرانسیل پاره‌های می‌توان آن‌ها را به گونه‌ای فرمول‌بندی کرد که تکامل جهان در طول زمان را نشان دهند. این کار را به روش فرمول‌بندی که به نام "۳+۱" شناخته می‌شود انجام می‌دهند که در آن سه بُعد فضا و یک بُعد زمان وجود دارد. بهترین مثال شناخته‌شده صورت‌گرایی ای دی ام است.[۱۲۳] این تجزیه‌ها نشان می‌دهد که معادلات تکامل فضازمان در نسبیت عام به درستی رفتار می‌کنند: پاسخ‌ها همواره موجودند و اگر شرایط اولیه مشخص شوند به گونه منحصربه فردی تعریف می‌شوند.[۱۲۴] این‌طور فرمول‌بندی‌های معادلات اینشتین اساس نسبیت عددی را تشکیل می‌دهند.[۱۲۵]

کمیت‌های شبه محلی و سراسری

مفهوم معادلات تکامل با یکی دیگر از جنبه‌های نسبیت عام گره خورده است. در نظریه اینشتین مشخص می‌گردد که غیرممکن است که بتوان یک تعریف عمومی برای ویژگی ظاهراً ساده‌ای مانند جرم (انرژی) کل یک سیستم ارائه داد. دلیل این امر آن است که میدان گرانشی – مانند هر میدان فیزیکی دیگری– باید به یک انرژی خاص نسبت داده شود اما ثابت شده که اساساً غیرممکن است که بتوان آن انرژی را محلی کرد.[۱۲۶]

با این وجود هنوز راه‌هایی برای تعریف جرم کل یک سیستم وجود دارد، مثلاً از طریق یک ناظر فرضی بی‌نهایت دور (جرم ای دی ام) یا از طریق تقارن‌های مناسب (جرم کُمار).[۱۲۷] اگر انرژی که از طریق امواج گرانشی به بی‌نهایت منتقل می‌شود را از جرم کل سیستم کم کنیم، حاصل آن جرم بوندی در بی‌نهایت پوچ نامیده می‌شود.[۱۲۸] همانند فیزیک کلاسیک می‌توان نشان داد که این جرم‌ها مثبت هستند.[۱۲۹] تعاریف عمومی متناظری نیز برای تکانه و تکانه زاویه‌ای وجود دارند.[۱۳۰] همچنین تلاش‌هایی در زمینه تعریف کمیتهای شبه محلی صورت گرفته‌است، مثلاً جرم یک سیستم منزوی، تنها با استفاده از کمیتهایی که در یک ناحیه متناهی از فضای دربرگیرنده آن سیستم تعریف می‌شود، فرمول‌بندی می‌گردد. امید آن می‌رود که کمیتی به دست آید که برای بیان گزاره‌های عمومی در مورد سیستم‌های منزوی سودمند باشد، مانند یک فرمول‌بندی دقیقتر برای حدس حلقه[notes ۳۱]

رابطه با نظریهٔ کوانتومی

اگر نسبیت عام را به‌عنوان یکی از دو ستون فیزیک نوین بدانیم، ستون دیگر نظریه کوانتومی است که پایهٔ فهمیدن ماده، از ذرات بنیادی تا فیزیک جامدات است.[notes ۳۲] اما اینکه چگونه می‌توان مفاهیم فیزیک کوانتومی را با نسبیت عام سازش داد، پرسشی است که هنوز بی پاسخ مانده‌است.

نظریه میدان کوانتومی در فضازمان خمیده

نظریه‌های میدان‌های کوانتومی معمولی، که پایه فیزیک ذرات بنیادی مدرن را تشکیل می‌دهند همگی در فضای تخت مینکوفسکی تعریف می‌شوند که تقریب بسیار مناسبی برای موردی است که بخواهیم رفتار ذرات میکروسکوپی را در میدان‌های گرانش ضعیف مانند میدان‌های موجود در روی زمین مطالعه کنیم.[۱۳۱] برای توصیف شرایطی که در آن گرانش به اندازه‌ای نیرومند هست که بر ماده تأثیر داشته باشد اما نه تا اندازه‌ای که خود نیاز به کوانتایی‌سازی داشته باشد، فیزیکدانان نظریه‌های میدان کوانتومی برای فضازمان خمیده را پیشنهاد داده‌اند. این نظریه‌ها با بهره‌گیری از نسبیت عام، یک فضای پس زمینه خمیده را توصیف می‌کنند و نظریه میدان کوانتومی تعمیم یافته‌ای را تعریف می‌کنند که رفتار ماده کوانتومی را در آن فضازمان بررسی می‌کند.[۱۳۲] با بهره‌گیری از این صورت‌گرایی[notes ۳۳] می‌توان نشان داد که سیاهچاله‌ها یک طیف جسم سیاه از ذرات منتشر می‌کنند که تابش هاوکینگ نامیده می‌شود و به تبخیر سیاهچاله در گذر زمان می‌انجامد.[notes ۳۴] همان‌طور که به اختصار در بالا اشاره شد، این تبخیر نقش مهمی در ترمودینامیک سیاهچاله‌ها بازی می‌کند.[۱۳۳]

گرانش کوانتومی

نیاز به سازگاری بین یک توصیف کوانتومی از ماده و یک توصیف هندسی از فضا،[notes ۳۵] و همچنین بروز تکینگی‌ها (در جاهایی که مقیاس طول خمش میکروسکوپیک می‌شود)، از جمله دلایل نیاز به وجود یک نظریه کامل گرانش کوانتومی هستند: برای توضیح کافی در مورد ساختار داخلی سیاه‌چاله‌ها و جهان بسیار جوان نخستین، یک نظریه مورد نیاز است که در آن گرانش و هندسه فضازمان مرتبط با آن به زبان فیزیک کوانتومی بیان گردند.[۱۳۴] با وجود تلاش‌های فراوان، هنوز هیچ نظریه کامل و سازگاری برای گرانش کوانتومی به دست نیامده است. اگرچه چند نامزد بالقوه برای چنین نظریه‌ای موجود است.[۱۳۵]

تصویرسازی از یک خمینه کالابی–یائو، یکی از راه‌های فشرده‌سازی ابعاد اضافی که توسط نظریه ریسمان عرضه می‌شود.

تلاش‌ها برای تعمیم نظریه‌های میدان کوانتومی معمولی – که برای توصیف برهمکنش‌های بنیادی در فیزیک بنیادی کاربرد دارند –، از طریق گنجاندن گرانش در این نظریه‌ها با مشکلات جدی روبه رو شده‌اند. در انرژی‌های پایین این دیدگاه موفق است و این نظریه‌ها در این شرایط نظریه‌های میدانی مؤثری برای گرانش هستند.[۱۳۶] اما در انرژی‌های بالا نتایج دست‌یافته، مدل‌هایی هستند که فاقد هرگونه قدرت پیش‌بینی می‌باشند("غیرقابل بازبه‌هنجارسازی").[notes ۳۶]

گونه‌ای از شبکه اسپین ساده که در گرانش کوانتومی حلقه استفاده می‌شود.

یکی از تلاش‌ها برای غلبه بر این محدودیت‌ها نظریه ریسمان است، یک نظریه کوانتومی که دربارهٔ ذرات نقطه‌ای نیست بلکه از اجسام یک بعدی دراز بسیار ریز سخن می‌گوید.[notes ۳۷] این نظریه نوید آن را می‌دهد که می‌تواند یک توصیف یکپارچه برای همه ذرات و برهمکنش‌ها (از جمله گرانش) باشد.[notes ۳۸] بهایی که باید در این راه پرداخت شود، پذیرش ویژگی‌های غیرمعمولی مانند شش بعد اضافی برای فضا در کنار سه بعد موجود است.[۱۳۷] درخلال دوران انقلاب دوم اَبَرریسمان گمان برآن رفت که نظریه ریسمان و یک نظریه دربارهٔ یکپارچه‌سازی نسبیت عام و اَبَرتقارن به نام اَبَرگرانش،[۱۳۸] هردو بخشی از یک مدل پیشنهادی یازده–بعدی به نام نظریه اِم هستند که سرانجام یک نظریه سازگار و از نظر تعریفی یکتا از گرانش کوانتومی را ارائه خواهد داد.[۱۳۹]

دیدگاه دیگری نیز وجود دارد که از روش‌های کوانتیزه کردن کانونیک نظریه کوانتومی آغاز می‌شود. با استفاده از فرمول‌بندی مقدار اولیه نسبیت عام (به معادلات تکامل در بالا مراجعه کنید) معادله ویلر–دوگانگی (نظیر معادله شرودینگر) حاصل می‌شود که متأسفانه مشخص شده که به درستی تعریف نشده‌است.[۱۴۰] اما با معرفی آنچه امروز به نام متغیر اَشتِکار شناخته می‌شود،[۱۴۱] این معادله به مدلی نویدبخش به نام گرانش کوانتومی حلقه منجر می‌شود. فضا با ساختاری تارعنکبوت مانند به نام شبکه اسپین نمایش داده می‌شود که در گام‌های گسسته با گذر زمان تکامل می‌یابد.[۱۴۲]

با اختلاف در اینکه کدام یک از ویژگی‌های نسبیت عام و نظریه کوانتومی بدون تغییر پذیرفته شوند و اینکه تغییرات در چه سطحی اعمال شوند، تلاش‌های متعدد مختلفی برای رسیدن که یک نظریه قابل قبول گرانش کوانتومی صورت گرفته‌اند که برخی نمونه‌های آن‌ها مثلثی‌سازی دینامیکی،[۱۴۳] مجموعه‌های سببی،[۱۴۴] مدلهای توئیستر[۱۴۵] یا مدل‌های کیهان‌شناسی‌های کوانتومی بر پایه انتگرال مسیر هستند.[۱۴۶]

تمام نظریه‌های نامزد همچنان مشکلات صوری و مفهومی دارند که باید برآن فایق آیند. این نظریه‌ها از این مشکل عمومی نیز برخوردارند که هنوز هیچ راهی برای آزمودن پیش‌بینی‌های گرانش کوانتومی وجود ندارد، هرچند که امید است این امر با داده‌های آینده دربارهٔ مشاهدات کیهان‌شناسی و آزمایش‌های فیزیک ذرات میسر شود.[۱۴۷]

وضعیت کنونی

نسبیت عام به‌عنوان نظریه‌ای بسیار موفق پدیدار شده و آزمون‌های مشخص آزمایشگاهی و مشاهدات بسیاری را پشت سر گذارده است، اما شواهد محکمی نیز حاکی از آنند که این نظریه کامل نیست.[۱۴۸] مسئله گرانش کوانتومی و واقعیت تکینگی‌های فضازمان هنوز بدون پاسخ مانده‌اند.[notes ۳۹] شواهدی درداده‌های مشاهداتی که به‌عنوان گواهی برای وجود انرژی تاریک و ماده تاریک در نظر گرفته می‌شوند ممکن است در حقیقت شواهدی برای نیاز به دانشی جدید در فیزیک باشند.[notes ۴۰] حتی اگر نسبیت را همان‌گونه که هست بپذیریم، این نظریه پر از احتمالات اکتشاف بیشتر است. پژوهشگران نسبیت ریاضیاتی در جستجوی فهم ماهیت تکینگی‌ها و ویژگی‌های اصلی معادلات اینشتین هستند.[۱۴۹] و شبیه‌سازی‌های رایانه‌ای با قدرت روزافزون (مانند آن‌هایی که ادغام سیاهچاله‌ها را شبیه‌سازی می‌کنند) در حال اجرا هستند.[۱۵۰] با مشاهدهٔ امواج گرانشی در سال ۲۰۱۶، تلاش‌ها برای مطالعهٔ کیهان به کمک امواج گرانشی شتاب گرفته‌است[notes ۴۱] ، تا امکان آزمودن نظریه در میدان‌های گرانشی بسیار قوی تر فراهم آید.[notes ۴۲] با وجود گذشت بیش از نود سال از انتشار، نسبیت عام هنوز به‌عنوان زمینه‌ای فعال در پژوهش به‌شمار می‌رود.[۱۵۱]

جستارهای وابسته

یادداشت‌ها

  1. ↑ بخش‌های اثرات مداری و نسبیت جهت، اتساع زمان گرانشی و انتقال بسامد و انحراف نور و تأخیر زمانی گرانشی،
  2. ↑ بخش کیهان‌شناسی و مراجع معرفی شده؛ تکامل تاریخی در(Overbye ۱۹۹۹)
  3. ↑ شرح زیر ردگیری مجدد آنچه در(Ehlers ۱۹۷۳، sec. 1) آمده‌است می‌باشد
  4. ↑ مقدمه‌های خوبی به ترتیب افزایش دانش ریاضی مورد نیاز عبارتند از، (Giulini ۲۰۰۵)، (Mermin ۲۰۰۵) و (Rindler ۱۹۹۱)؛ بخش چهارم (Ehlers و Lämmerzahl ۲۰۰۶) برای آزمایش‌های دقت
  5. ↑ مقایسه‌ای ژرف بین دو گروه تقارن را در (Giulini 2006a) ببینید
  6. ↑ حداقل به‌طور تقریبی. با (Poisson ۲۰۰۴) مقایسه کنید
  7. ↑ برای مشکلات مفهومی و تاریخی تعریف یک «اصل نسبیت عام» و جداسازی آن از مفهوم هموردایی عام، (Giulini 2006b) را ببینید.
  8. ↑ (Geroch ۱۹۹۶)
  9. ↑ برای اطلاعات جانبی و لیستی از پاسخ‌ها، (Stephani و دیگران ۲۰۰۳) را ببینید؛ یک بررسی جدیدتر نیز در (MacCallum ۲۰۰۶) یافت می‌شود.
  10. ↑ توصیف مختصری از این پاسخ‌ها و پاسخ‌های جالب دیگر را می‌توان در (Hawking و Ellis ۱۹۷۳، ch. 5) یافت.
  11. ↑ آزمایش پوند–ربکا را ببینید (Pound و Rebka ۱۹۵۹)، (Pound و Rebka ۱۹۶۰)؛ (Pound و Snider ۱۹۶۴); فهرستی از آزمایش‌های بیشتری نیز در (Ohanian و Ruffini ۱۹۹۴، جدول ۴٫۱ در صفحه ۱۸۶) آمده‌است.
  12. ↑ با شروع از آزمایش هیفل–کیتینگ، (Hafele و Keating 1972a) و(Hafele و Keating 1972b)، و شکوفایی در کاوشگر گرانش ای آزمایش مروری بر آزمایش‌ها را در (Ohanian و Ruffini ۱۹۹۴، جدول ۴٫۱ در ص. ۱۸۶) ببینید
  13. ↑ بررسی‌های عمومی در بخش ۲٫۱ از Will 2006; Will 2003, ص. 32–36؛ (Ohanian و Ruffini ۱۹۹۴، بخش ۴٫۲)
  14. ↑ برای اندازه‌گیری‌های کلاسیک اولیه توسط اکتشافات ادینگتون (Kennefick ۲۰۰۵) را ببینید؛ برای مرور اندازه‌گیری‌های جدیدتر، (Ohanian و Ruffini ۱۹۹۴، ch. 4.3) را ببینید. برای دقیق‌ترین مشاهدات مستقیم مدرن توسط اختروش‌ها، (Shapiro و دیگران ۲۰۰۴) را ببینید.
  15. ↑ این یک اصل مستقل نیست؛ می‌توان آن را از معدلات اینشتین و لاگرانژین ماکسول با استفاده از یک تقریب دبلیو کی بی به دست آورد، ببینید (Ehlers ۱۹۷۳، sec. 5)
  16. ↑ برای میدان گرانشی خورشید با استفاده از سیگنال‌های رادار بازتابیده شده از سیاراتی چون ناهید و تیر، (Shapiro ۱۹۶۴)را ببینید، (Weinberg ۱۹۷۲، ch. 8, sec. ۷)؛ برای سیگنال‌هایی که توسط کاوشگرهای فضایی فرستاده شده‌اند (اندازه‌گیریهای ترانسپوندر)، (Bertotti، Iess و Tortora ۲۰۰۳) را ببینید؛ برای مرور کلی، (Ohanian و Ruffini ۱۹۹۴، table 4.4 on p. ۲۰۰) را ببینید؛ برای اندازه‌گیری‌های جدیدتر با استفاده از سیگنال‌های دریافت شده از یک تپ‌اختر که بخشی از یک منظومه دوتایی است، میدان گرانش باعث تأخیر زمانی می‌شود، (Stairs ۲۰۰۳، sec. ۴٫۴) را ببینید.
  17. ↑ این امواج به‌طور غیرمستقیم از طریق انرژی گمشده در منظومه‌های دوتایی تپ‌اخترهایی مانند دوتایی هالس–تیلور –موضوع جایزه نوبل ۱۹۹۳ در فیزیک – مشاهده شده‌اند، پروژه‌هایی برای مشاهده مستقیم آن‌ها نیز در راه‌اند. برای یک مرور کلی (Misner، Thorne و Wheeler ۱۹۷۳، part VIII) را ببینید. برخلاف امواج الکترومغناطیسی، منشأ امواج گرانشی دوقطبی نیست، بلکه چهار قطبی است؛ (Schutz ۲۰۰۱) را ببینید
  18. ↑ بیشتر کتب پیشرفته دربارهٔ نسبیت عام چنین ویژگی‌هایی را توصیف نموده‌اند، مثلاً (Schutz ۱۹۸۵، ch. 9)
  19. ↑ در نتیجه، در صورت‌گرایی پسا–نیوتنی پارامتری، اندازه‌گیری‌های این اثر ترکیبی خطی از عبارتهای β وγ را مشخص می‌کند، (Will ۲۰۰۶، sec. 3.5) و (Will ۱۹۹۳، sec. 7.3) را ببینید
  20. ↑ دقیقترین اندازه‌گیری‌ها، اندازه‌گیری‌های VLBI موقعیت‌های سیاره‌هاست؛ ببینید (Will ۱۹۹۳، ch. 5)، (Will ۲۰۰۶، sec. 3.5)، (Anderson و دیگران ۱۹۹۲); for an overview, (Ohanian و Ruffini ۱۹۹۴، صص. ۴۰۶–۴۰۷)
  21. ↑ شکلی که شامل میله‌های خطا نیز می‌باشد را در شکل ۷ در (Will ۲۰۰۶، بخش ۵٫۱) ببینید
  22. ↑ توصیف مأموریت را در (Everitt و دیگران ۲۰۰۱) ببینید؛ یک ارزیابی اولیه بعد از پرواز در (Everitt، Parkinson و Kahn ۲۰۰۷) آمده‌است؛ به روز رسانی‌های جدیدتر را در وبگاه مأموریت ببینید (Kahn و ۱۹۹۶–۲۰۱۲).
  23. ↑ برای مرور همگرایی گرانشی و کاربردهایش، (Ehlers، Falco و Schneider ۱۹۹۲) و (Wambsganss ۱۹۹۸) را ببینید.
  24. ↑ برای یک نتیجه‌گیری ساده(Schutz ۲۰۰۳، ch. 23) را ببینید؛ مراجعه کنید به (Narayan و Bartelmann ۱۹۹۷، sec. 3)
  25. ↑ تصاویر همه همگرایی‌های شناخته شده را می‌توان در صفحات پروژه CASTLES پیدا نمود (Kochanek و دیگران ۲۰۰۷)
  26. ↑ مثلاً با داده‌های دبلیومپ، اینجا را ببینید (Spergel و دیگران ۲۰۰۳)
  27. ↑ این آزمونها شامل مشاهدات مجزایی هستند که شرح جزئیات آن‌ها در شکل دو در (Bridle و دیگران ۲۰۰۳) آمده‌است.
  28. ↑ شواهدی برای این موضوع را می‌توان با تعیین پارامترهای کیهانی و مشاهدات بیشتر کهکشان‌ها و خوشه‌های کهکشانی یافت، (Peebles ۱۹۹۳، ch. 18) را ببینید، شواهدی برای همگرایی گرانشی، رجوع کنید به (Peacock ۱۹۹۹، sec. 4.6)، و شبیه سازیهای ساختار بزرگ مقیاس، اینجا را ببینید(Springel و دیگران ۲۰۰۵)
  29. ↑ برخی از فیزیکدان‌ها به این اندیشیده‌اند که ممکن است شواهد دال بر وجود ماده تاریک در حقیقت شواهدی بر ناتوانی مکانیک نسبیتی و نیوتنی در توصیف گرانش باشد. مرور کلی در (Mannheim ۲۰۰۶، sec. 9)
  30. ↑ به‌طور دقیق‌تر این‌ها مسائل تخت بودن مسئله افق، و مسئله تک قطبی هستند؛ مقدمه‌ای در (Narlikar ۱۹۹۳، sec. 6.4)، موجود است. همچنین (Börner ۱۹۹۳، sec. 9.1) را ببینید
  31. ↑ نمونه چنین تعریف‌های شبه محلی جرم–انرژی عبارتند از انرژی هاوکینگ، انرژی گراچ، یا پنروز انرژی–تکانه شبه محلی براساس روش‌های توئیستر؛ مرور مقاله (Szabados ۲۰۰۴) را ببینید.
  32. ↑ مروری بر فیزیک کوانتومی را می‌توان در کتاب‌های مرجع کلاسیک مانند (Messiah ۱۹۹۹) یافت؛ ویا در سطح مقدماتی تر در (Hey و Walters ۲۰۰۳) ببینید.
  33. ↑ (به انگلیسی: formalism)
  34. ↑ برای تابش هاوکینگ (Hawking ۱۹۷۵) را ببینید، (Wald ۱۹۷۵); مقدمه‌ای قابل فهم درمورد تبخیر سیاهچاله‌ها را می‌توان در (Traschen ۲۰۰۰) یافت.
  35. ↑ به زبان ساده ماده منشأ خمش فضازمان است، و اگر ماده خواص کوانتومی داشته باشد، می‌توانیم انتظار داشته باشیم که فضازمان هم همین‌گونه است. (Carlip ۲۰۰۱، sec. 2) را ببینید.
  36. ↑ به‌طور خاص، تکنیکی به نام بازبه‌هنجارسازی، که توزیع‌های پرانرژی‌تر را در نظر می‌گیرد، رجوع شود به (Weinberg ۱۹۹۶، ch. 17, 18), در این دسته قرار می‌گیرد؛ (Goroff و Sagnotti ۱۹۸۵) را ببینید.
  37. ↑ مقدمه‌ای قابل فهم در سطح کارشناسی را در (Zwiebach ۲۰۰۴) بیابید؛ بررسی‌های کامل‌تر در (Polchinski 1998a) و (Polchinski 1998b)
  38. ↑ در انرژی‌های قابل دستیابی در آزمایش‌های کنونی، این رشته‌ها از ذرات نقطه‌ای غیرقابل تشخیص هستند، اما مدهای نوسان مختلف یک نوع رشته بنیادی به صورت ذراتی با بارهای مختلف پدیدار می‌شوند. مثلاً (Ibanez ۲۰۰۰). نظریه در این زمینه موفق بوده‌است که یکی از مدها همیشه با گرانش متناظر است، ذره پیام رسان گرانش، مثلاً (Green، Schwarz و Witten ۱۹۸۷، sec. 2.3, 5.3) را ببینید.
  39. ↑ بخش گرانش کوانتومی را در بالا ببینید.
  40. ↑ بخش کیهان‌شناسی را در بالا ببینید
  41. ↑ (Bartusiak ۲۰۰۰) برای موارد تا آن سال؛ اخبار به روز را در وب‌سایت‌هایی چون GEO 600 بایگانی‌شده در ۱۸ فوریه ۲۰۰۷ توسط Wayback Machine و LIGO ببینید.
  42. ↑ برای مقالات تازه‌تر در قطبش امواج گرانشی دوتایی‌های فشرده (Blanchet و دیگران ۲۰۰۸) و(Arun و دیگران ۲۰۰۷)؛ برای مرور کارهای روی دوتایی‌های فشرده (Blanchet ۲۰۰۶) and (Futamase و Itoh ۲۰۰۶); برای مرور عمومی آزمون‌های تجربی نسبیت عام (Will ۲۰۰۶) را ببینید

پانویس

  1. ↑ «تاریخچهٔ جوایز نوبل». تاریخچهٔ جایزهٔ نوبل. جایزهٔ نوبل. بایگانی‌شده از اصلی در ۲۲ اوت ۲۰۱۳. دریافت‌شده در ۱ ژوئن ۲۰۱۳.
  2. ↑ ۲٫۰ ۲٫۱ «Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger». American Physical Society. بایگانی‌شده از اصلی در ۱۱ فوریه ۲۰۱۶.
  3. ↑ ۳٫۰ ۳٫۱ «Gravitational Waves Are the Ringing of Spacetime». American Physical Society. فوریه ۱۱, ۲۰۱۶. بایگانی‌شده از اصلی در ۱۱ فوریه ۲۰۱۶.
  4. ↑ «Gravitational waves discovery: 'We have a first tantalising glimpse of the cosmic birth pangs'». بایگانی‌شده از اصلی در ۲۹ آوریل ۲۰۱۴.
  5. ↑ (Pais 1982، فصلهای ۹ تا ۱۵)، (Janssen 2005)؛ (Renn 2007) مجموعه‌ای به‌روز از پژوهش‌های کنونی است که شامل بازنشر بسیاری از مقالات اصلی نیز می‌باشد؛ مروری قابل فهم را می‌توان در (Renn 2005، صص. 110ff) یافت. مقاله (Einstein 1907) یکی از مقاله‌های کلیدی نخستین است، را با (Pais 1982، ch. 9) مقایسه کنید. مقاله (Einstein 1915) مقاله‌ای است که در آن معادلات میدان ارائه شدند، آن را با (Pais 1982، ch. 11–15) مقایسه کنید
  6. ↑ (Schwarzschild 1916a),(Schwarzschild 1916b) و (Reissner ۱۹۱۶) (بعدها در(Nordström ۱۹۱۸) تکمیل شد)
  7. ↑ (Einstein ۱۹۱۷)، آن را با (Pais ۱۹۸۲، ch. 15e) مقایسه کنید.
  8. ↑ مقاله اصلی هابل، (Hubble ۱۹۲۹) است؛ که بررسی کلی آن در (Singh ۲۰۰۴، ch. 2–4) قابل دسترسی است.
  9. ↑ (Gamow ۱۹۷۰)
  10. ↑ (Pais ۱۹۸۲، صص. ۲۵۳–۲۵۴)
  11. ↑ (Kennefick ۲۰۰۵)،(Kennefick ۲۰۰۷)
  12. ↑ (Pais ۱۹۸۲، ch. 16)
  13. ↑ Thorne، Kip (۲۰۰۳). «Warping spacetime». The future of theoretical physics and cosmology: celebrating Stephen Hawking's 60th birthday [آینده فیزیک نظری و کیهان‌شناسی: بزرگداشت ۶۰ سالگی هاوکینگ]. Cambridge University Press. ص. ۷۴. شابک ۰-۵۲۱-۸۲۰۸۱-۲. بایگانی‌شده از =yLy4b61rfPwC اصلی مقدار |پیوند= را بررسی کنید (کمک) در ۲۳ می ۲۰۱۳., yLy4b61rfPwC&pg =PA74 Extract of page 74[پیوند مرده]
  14. ↑ (Israel ۱۹۸۷، ch. 7.8–7.10), (Thorne ۱۹۹۴، ch. 3–9)
  15. ↑ (Arnold ۱۹۸۹، ch. 1)
  16. ↑ (Ehlers ۱۹۷۳، صص. 5f)
  17. ↑ (Will ۱۹۹۳، sec. 2.4), (Will ۲۰۰۶، sec. 2)
  18. ↑ (Wheeler ۱۹۹۰، ch. 2)
  19. ↑ (Ehlers ۱۹۷۳، sec. 1.2), (Havas ۱۹۶۴), (Künzle ۱۹۷۲). آزمایش فکری ساده مورد سؤال اولین بار در (Heckmann و Schücking ۱۹۵۹) توصیف شد.
  20. ↑ (Ehlers ۱۹۷۳، صص. 10f)
  21. ↑ (Rindler ۱۹۹۱، بخش ۲۲)، (Synge ۱۹۷۲، فصل ۱و۲)
  22. ↑ (Ehlers ۱۹۷۳، sec. 2.3)
  23. ↑ (Ehlers ۱۹۷۳، sec. 1.4), (Schutz ۱۹۸۵، sec. 5.1)
  24. ↑ (Ehlers ۱۹۷۳، صص. 17ff)؛ یک نتیجه‌گیری در (Mermin ۲۰۰۵، فصل ۱۲) یافت می‌شود. برای شواهد تجربی، بخش نسبیت عام#اتساع زمان گرانشی و انتقال بسامد رادر زیر ببینید
  25. ↑ (Rindler ۲۰۰۱، بخش ۱٫۱۳); برای یک مرجع مقدماتی (Wheeler ۱۹۹۰، فصل دوم)؛ هرچند که تفاوت‌هایی بین نسخه جدید و مفهوم‌هایی اصلی انیشتین در تاریخ شکل‌گیری نسبیت عام وجود دارد (Norton ۱۹۸۵)
  26. ↑ (Ehlers ۱۹۷۳، sec. 1.4) برای شواهد تجربی مجدداً بخش نسبیت عام#اتساع زمان گرانشی و انتقال بسامد را ببینید. انتخاب یک اتصال متفاوت با پیچش به نظریه متفاوتی به نام نظریه اینشتین–کارتان می‌انجامد
  27. ↑ (Ehlers ۱۹۷۳، ص. ۱۶), (Kenyon ۱۹۹۰، بخش ۷٫۲), (Weinberg ۱۹۷۲، بخش ۲٫۸)
  28. ↑ (Ehlers ۱۹۷۳، صص. ۱۹–۲۲); برای نتیجه‌گیری‌های مشابه بخش یک و دو از فصل هفتم (Weinberg ۱۹۷۲) را ببینید. تانسور اینشتین تنها تانسور بدون واگرایی است که تابعی از ضرایب متریک و مشتقات اول ویا حداکثر دومشان است، و اجاز می‌دهد که در غیاب منبع گرانش فضازمان نسبیت خاص راه حل مناسبی باشد.(Lovelock ۱۹۷۲). تانسورها در هردوطرف از مرتبه دوم هستند، یعنی می‌توان آن‌ها را به صورت ماتریس‌های ۴x۴ نوشت که هر کدام شامل ۱۰ عبارت مستقل هستند و بنابراین ده معادله جغت شده به دست می‌آید. البته در نتیجهٔ روابطی هندسی به نام «اتحادهای بیانکی»، تانسور اینشتین چهار معادلهٔ دیگر را ارضا می‌نماید و بنابراین، معادلات میدان به شش معادله مستقل کاهش می‌یابند، مثلاً (Schutz ۱۹۸۵، sec. 8.3)
  29. ↑ (Kenyon ۱۹۹۰، sec. 7.4)
  30. ↑ (Brans و Dicke ۱۹۶۱)، (Weinberg ۱۹۷۲، بخش ۳ در فصل ۷)، (Goenner ۲۰۰۴، بخش ۷٫۲)، و (Trautman ۲۰۰۶)، به تر تیب
  31. ↑ (Wald ۱۹۸۴، ch. 4)، (Weinberg ۱۹۷۲، ch. 7) یا در واقع هر کتاب دانشگاهی دیگری درمورد نسبیت عام
  32. ↑ (Wheeler ۱۹۹۰، ص. xi)
  33. ↑ (Wald ۱۹۸۴، sec. 4.4)
  34. ↑ (Wald ۱۹۸۴، sec. 4.1)
  35. ↑ بخش ۵ در فصل ۱۲ از (Weinberg ۱۹۷۲)
  36. ↑ فصل‌های مقدماتی (Stephani و دیگران ۲۰۰۳)
  37. ↑ (Chandrasekhar ۱۹۸۳، ch. 3,5,6)
  38. ↑ (Narlikar ۱۹۹۳، ch. 4, sec. 3.3)
  39. ↑ (Lehner ۲۰۰۲)
  40. ↑ مثلاً (Wald ۱۹۸۴، sec. 4.4)
  41. ↑ (Will ۱۹۹۳، sec. 4.1 and 4.2)
  42. ↑ (Will ۲۰۰۶، sec. 3.2), (Will ۱۹۹۳، ch. 4)
  43. ↑ (Rindler ۲۰۰۱، صص. 24–26 vs. pp. 236–237) and (Ohanian و Ruffini ۱۹۹۴، صص. ۱۶۴–۱۷۲). اینشتین در سال ۱۹۰۷ این آثار را از اصل هم‌ارزی نتیجه گرفت. (Einstein ۱۹۰۷) را ببینید و توصیف آن در (Pais ۱۹۸۲، صص. ۱۹۶–۱۹۸) نیز آمده‌است
  44. ↑ (Rindler ۲۰۰۱، صص. ۲۴–۲۶); (Misner، Thorne و Wheeler ۱۹۷۳، § ۳۸٫۵)
  45. ↑ (Greenstein، Oke و Shipman ۱۹۷۱); جدیدترین و دقیقترین اندازه‌گیری‌های شباهنگ (شعرای یمانی) B در (Barstow, Bond et al. ۲۰۰۵) منتشر شده‌اند.
  46. ↑ GPS با استفاده از مقایسه ساعت‌های اتمی ماهواره‌ها پیوسته در حال آزموده شدن است؛ برای مبحث آثار نسبیتی (Ashby ۲۰۰۲) و (Ashby ۲۰۰۳) را ببینید.
  47. ↑ (Stairs ۲۰۰۳) و (Kramer ۲۰۰۴)
  48. ↑ (Ohanian و Ruffini ۱۹۹۴، ص. ۱۶۴–۱۷۲)
  49. ↑ (Blanchet ۲۰۰۶، sec. 1.3)
  50. ↑ (Rindler ۲۰۰۱، sec. 1.16)؛ برای مثالهای تاریخی، (Israel ۱۹۸۷، صص. ۲۰۲–۲۰۴)؛ در حقیقت اینشتین یک نمونه از این گونه نتیجه گیریها را منتشر نمود (Einstein ۱۹۰۷). چنین محاسباتی به‌طور ضمنی می‌گمارند که هندسه فضا اقلیدسی است، ببینید (Ehlers و Rindler ۱۹۹۷)
  51. ↑ از دید نظریه اینشتین، این نتیجه گیریها اثر گرانش بر زمان را نیز درنظر می‌گیرند، اما پیامدهایش در پیچ و تاب دادن به فضا را در نظر نمی‌گیرند، ببینید (Rindler ۲۰۰۱، sec. 11.11)
  52. ↑ (Will ۱۹۹۳، sec. 7.1 and 7.2)
  53. ↑ مثلاً (Jaranowski و Królak ۲۰۰۵)
  54. ↑ (Rindler ۲۰۰۱، ch. 13)
  55. ↑ (Gowdy ۱۹۷۱), (Gowdy ۱۹۷۴)
  56. ↑ (Lehner ۲۰۰۲)را برای مقدمه مختصری درمورد روش‌های نسبیت عددی، و (Seidel ۱۹۹۸) برای ارتباط با اخترشناسی امواج گرانشی.
  57. ↑ (Schutz ۲۰۰۳، صص. ۴۸–۴۹), (Pais ۱۹۸۲، صص. ۲۵۳–۲۵۴)
  58. ↑ (Rindler ۲۰۰۱، sec. 11.9)
  59. ↑ (Will ۱۹۹۳، صص. ۱۷۷–۱۸۱)
  60. ↑ (Kramer و دیگران ۲۰۰۶)
  61. ↑ (Stairs ۲۰۰۳), (Schutz ۲۰۰۳، صص. ۳۱۷–۳۲۱), (Bartusiak ۲۰۰۰، صص. ۷۰–۸۶)
  62. ↑ (Weisberg و Taylor ۲۰۰۳); برای کشف تپ‌اختر، (Hulse و Taylor ۱۹۷۵) را ببینید؛ برای شواهد اولیه تابش گرانشی، (Taylor ۱۹۹۴) را ببینید
  63. ↑ (Kramer ۲۰۰۴)
  64. ↑ (Penrose ۲۰۰۴، §۱۴٫۵), (Misner، Thorne و Wheeler ۱۹۷۳، §۱۱٫۴)
  65. ↑ (Weinberg ۱۹۷۲، sec. 9.6), (Ohanian و Ruffini ۱۹۹۴، sec. 7.8)
  66. ↑ (Bertotti، Ciufolini و Bender ۱۹۸۷), (Nordtvedt ۲۰۰۳)
  67. ↑ (Kahn ۲۰۰۷)
  68. ↑ (Townsend ۱۹۹۷، sec. 4.2.1), (Ohanian و Ruffini ۱۹۹۴، صص. ۴۶۹–۴۷۱)
  69. ↑ (Ohanian و Ruffini ۱۹۹۴، sec. 4.7)، (Weinberg ۱۹۷۲، sec. 9.7)؛ برای مروری جدیدتر (Schäfer ۲۰۰۴) را ببینید.
  70. ↑ (Ciufolini و Pavlis ۲۰۰۴), (Ciufolini، Pavlis و Peron ۲۰۰۶), (Iorio ۲۰۰۹)
  71. ↑ Iorio L. (August 2006), "COMMENTS, REPLIES AND NOTES: A note on the evidence of the gravitomagnetic field of Mars", Classical Quantum Gravity, 23 (17): 5451–5454, arXiv:gr-qc/0606092, Bibcode:2006CQGra..23.5451I, doi:10.1088/0264-9381/23/17/N01
  72. ↑ Iorio L. (June 2010), "On the Lense–Thirring test with the Mars Global Surveyor in the gravitational field of Mars", Central European Journal of Physics, 8 (3): 509–513, arXiv:gr-qc/0701146, Bibcode:2010CEJPh...8..509I, doi:10.2478/s11534-009-0117-6
  73. ↑ (Walsh، Carswell و Weymann ۱۹۷۹)
  74. ↑ (Roulet و Mollerach ۱۹۹۷)
  75. ↑ (Narayan و Bartelmann ۱۹۹۷، sec. 3.7)
  76. ↑ (Barish ۲۰۰۵), (Bartusiak ۲۰۰۰), (Blair و McNamara ۱۹۹۷)
  77. ↑ (Hough و Rowan ۲۰۰۰)
  78. ↑ Hobbs, George. "The international pulsar timing array project: using pulsars as a gravitational wave detector". arXiv:۰۹۱۱٫۵۲۰۶. {{cite arxiv}}: |arxiv= required (help); Check |arxiv= value (help)
  79. ↑ (Danzmann و Rüdiger ۲۰۰۳)
  80. ↑ "LISA pathfinder overview". ESA. Archived from the original on 23 May 2013. Retrieved 2012-04-23.
  81. ↑ (Thorne ۱۹۹۵)
  82. ↑ (Cutler و Thorne ۲۰۰۲)
  83. ↑ (Miller ۲۰۰۲، lectures 19 and 21)
  84. ↑ (Celotti، Miller و Sciama ۱۹۹۹، sec. 3)
  85. ↑ (Springel و دیگران ۲۰۰۵) و خلاصه همراه آن (Gnedin ۲۰۰۵)
  86. ↑ (Blandford ۱۹۸۷، sec. 8.2.4)
  87. ↑ برای مکانیزمهای ابتدای (Carroll و Ostlie ۱۹۹۶، sec. 17.2) را ببینید؛ برای دیدن انواع مختلف دیگری از اجسام نجومی مرتبط اینجا را ببینید، (Robson ۱۹۹۶)
  88. ↑ برای مرور (Begelman، Blandford و Rees ۱۹۸۴) را ببینید. برای یک ناظر دور به نظر می‌رسد برخی از این فواره سریعتر از نور حرکت می‌کنند؛ که البته می‌توان توضیح داد که این یک خطای دید است و با پایه‌های نسبیت عام در تضاد نیست. اینجا را ببینید (Rees ۱۹۶۶)
  89. ↑ برای حالات پایانی ستارگان، (Oppenheimer و Snyder ۱۹۳۹) را ببینید یا برای کارهای عددی جدیدتر،(Font ۲۰۰۳، sec. 4.1) را ببینید؛ درمورد ابرنواخترها هنوز مسائل اساسی وجود دارند که باید حل شوند،(Buras و دیگران ۲۰۰۳) را ببینید؛ برای شبیه‌سازی برافزایش ماده و شکل‌گیری فواره‌های نسبیتی، (Font ۲۰۰۳، sec. 4.2) را ببینید. همچنین گمان می‌رود که آثار همگرایی نسبیتی مسئول سیگنال‌های که از تپ‌اختر پرتوایکس دریافت می‌شوند؛ (Kraus ۱۹۹۸) را ببینید.
  90. ↑ از مشاهده پدیده روشنایی ادینگتون که ناشی از برافزایش ماده است، شواهدی درمورد حدودی برای فشردگی نیز وجود دارند. (Celotti، Miller و Sciama ۱۹۹۹) را ببینید، مشاهدات دینامیک ستاره‌ای در مرکز کهکشان راه شیری؛ (Schödel و دیگران ۲۰۰۳) را ببینید، (Remillard و دیگران ۲۰۰۶) برای مرور (Narayan ۲۰۰۶، sec. 5). (Falcke، Melia و Agol ۲۰۰۰)
  91. ↑ (Dalal و دیگران ۲۰۰۶)
  92. ↑ (Barack و Cutler ۲۰۰۴)
  93. ↑ در ابتدا (Einstein ۱۹۱۷); اینجا را ببینید (Pais ۱۹۸۲، صص. ۲۸۵–۲۸۸)
  94. ↑ (Bergström و Goobar ۲۰۰۳، ch. 9–11)؛ استفاده از این مدل‌ها با این حقیقت توجیه می‌شود که، در مقیاس‌های بزرگ در حدود صد میلیون سال نوری و بیشتر، به نظر می‌رسد که جهان ما همگن و همسانگرد است، (Peebles و دیگران ۱۹۹۱) را ببینید.
  95. ↑ (Peebles ۱۹۶۶); برای پیش‌بینی‌های جدیدتر (Coc, Vangioni‐Flam et al. ۲۰۰۴) را ببینید؛ مواردی هم در (Weiss ۲۰۰۶)؛ با مشاهدات در (Olive و Skillman ۲۰۰۴)، (Bania، Rood و Balser ۲۰۰۲)، (O'Meara و دیگران ۲۰۰۱)، و(Charbonnel و Primas ۲۰۰۵) ببینید.
  96. ↑ (Lahav و Suto ۲۰۰۴), (Bertschinger ۱۹۹۸), (Springel و دیگران ۲۰۰۵)
  97. ↑ (Alpher و Herman ۱۹۴۸), برای مقدمه (Bergström و Goobar ۲۰۰۳، ch. 11) را ببینید؛ برای آشکارسازی اولیه (Penzias و Wilson ۱۹۶۵) را ببینید، برای اندازه‌گیری‌های دقیق در مشاهدات ماهواره‌های (Mather و دیگران ۱۹۹۴) (کاوشگر زمینه کیهان) و (Bennett و دیگران ۲۰۰۳) (دبلیومپ). اندازه‌گیری‌های بیشتر نیز مدارکی را دربارهٔ امواج گرانشی در جهان اولیه آشکار می‌کنند؛ این اطلاعات اضافی در قطبش تابش زمینه‌ای نهفته است، (Kamionkowski، Kosowsky و Stebbins ۱۹۹۷) و(Seljak و Zaldarriaga ۱۹۹۷) را ببینید.
  98. ↑ (Peacock ۱۹۹۹، ch. 12), (Peskin ۲۰۰۷); در حقیقت مشاهدات بیا ن می‌کنند که به غیر از میزان اندکی، بیشتر آن ماده با ("ماده غیر باریونی") فیزیک ذرات متفاوت است، اینجا را ببینید (Peacock ۱۹۹۹، ch. 12)
  99. ↑ (Carroll ۲۰۰۱); مرور کلی در (Caldwell ۲۰۰۴). همچنین، دانشمندان بحث نموده‌اند که این یک شکل جدید انرژی نیست بلکه مدل‌ها نیاز به بهبود دارند، (Mannheim ۲۰۰۶، sec. 10) را ببینید؛ تغییرات ذکر شده الزاماً نباید تغییراتی در نسبیت عام باشند بلکه می‌توانند تغییراتی مثلاً در شیوه رفتار ما با ناهمگنی‌های جهان دارد. (Buchert ۲۰۰۷) را ببینید.
  100. ↑ یک مقدمه خوب در (Linde ۱۹۹۰) موجود است؛ برای یک مرور جدیدتر، (Linde ۲۰۰۵) را ببینید.
  101. ↑ (Spergel و دیگران ۲۰۰۷، sec. 5,6)
  102. ↑ به صورت خاص، مثلاً تابع پتانسیل که نقش کلیدی در تعیین دینامیک تورم دارد از نظریه فیزیکی پایه‌ای مدل منتج نمی‌شود.
  103. ↑ (Brandenberger ۲۰۰۷، sec. 2)
  104. ↑ (Frauendiener ۲۰۰۴), (Wald ۱۹۸۴، sec. 11.1), (Hawking و Ellis ۱۹۷۳، sec. 6.8, 6.9)
  105. ↑ (Wald ۱۹۸۴، sec. 9.2–9.4) و (Hawking و Ellis ۱۹۷۳، ch. 6)
  106. ↑ (Thorne ۱۹۷۲)؛ برای مطالعات عددی جدیدتر (Berger ۲۰۰۲، sec. 2.1)
  107. ↑ (Israel ۱۹۸۷). یک توصیف ریاضی دقیقتر کمک می‌کند تا چندین نوع مختلف از افق‌ها را شناسایی کنیم، مانند افق‌های رویداد و افق‌های ظاهری رجوع کنید به (Hawking و Ellis ۱۹۷۳، صص. ۳۱۲–۳۲۰) یا (Wald ۱۹۸۴، sec. 12.2); تعریف‌های شهودی تری از سیستم‌های منزوی که به دانش ویژگی‌های فضازمان در بی‌نهایت نیاز ندارد. اینجا را ببینید (Ashtekar و Krishnan ۲۰۰۴)
  108. ↑ برای نخستین گامها، (Israel ۱۹۷۱) را ببینید؛ (Hawking و Ellis ۱۹۷۳، sec. 9.3) یا (Heusler ۱۹۹۶، ch. 9 and 10) برای یک استنتاج (Heusler ۱۹۹۸) و همچنین (Beig و Chruściel ۲۰۰۶) به‌عنوان مرور کلی نتایج جدیدتر
  109. ↑ قوانین مکانیک سیاهچاله‌ها نخستین بار در (Bardeen، Carter و Hawking ۱۹۷۳) توصیف شدند؛ ارائه‌ای در این زمینه را می‌توان در (Carter ۱۹۷۹) یافت؛ برای مروری تاز تر (Wald ۲۰۰۱، ch. 2) را ببینید. مقدمه‌ای کامل شامل مقدمه‌ای بر ریاضیات مورد نیاز در (Poisson ۲۰۰۴) موجود است. برای فرایند پنروز (Penrose ۱۹۶۹) را ببینید.
  110. ↑ (Bekenstein ۱۹۷۳), (Bekenstein ۱۹۷۴)
  111. ↑ این واقعیت که سیاهچاله‌ها تابش دارند، نخستین بار از روش کوانتوم مکانیکی در (Hawking ۱۹۷۵) استنتاج شد؛ استنتاج کاملتری را در (Wald ۱۹۷۵) ببینید. یک مرور در (Wald ۲۰۰۱، ch. 3) موجود است.
  112. ↑ (Narlikar ۱۹۹۳، sec. 4.4.4, 4.4.5)
  113. ↑ افق‌ها: cf. (Rindler ۲۰۰۱، sec. 12.4). اثر اونروه: (Unruh ۱۹۷۶)، (Wald ۲۰۰۱، ch. 3)
  114. ↑ (Hawking و Ellis ۱۹۷۳، sec. 8.1), (Wald ۱۹۸۴، sec. 9.1)
  115. ↑ (Townsend ۱۹۹۷، ch. 2)؛ بررسی گسترده‌تر این پاسخ در (Chandrasekhar ۱۹۸۳، ch. 3) موجود است.
  116. ↑ (Townsend ۱۹۹۷، ch. 4)؛ برای بررسی گسترده‌تر (Chandrasekhar ۱۹۸۳، ch. 6) را ببینید.
  117. ↑ (Ellis و van Elst ۱۹۹۹)؛ نگاه دقیقتری به خود تکینگی در (Börner ۱۹۹۳، sec. 1.2) آمده‌است
  118. ↑ (Penrose ۱۹۶۵)
  119. ↑ (Hawking ۱۹۶۶)
  120. ↑ این فرضیه نخستین بار در (Belinskii، Khalatnikov و Lifschitz ۱۹۷۱) مطرح شد؛ برای مروری تازه‌تر (Berger ۲۰۰۲) را ببینید. (Garfinkle ۲۰۰۷)
  121. ↑ . فرضیه سانسور کیهانی نخستین بار در (Penrose ۱۹۶۹) مطرح شد؛ در حد یک کتاب درسی در(Wald ۱۹۸۴، صص. ۳۰۲–۳۰۵). برای نتایج عددی (Berger ۲۰۰۲، sec. 2.1) را ببینید
  122. ↑ (Hawking و Ellis ۱۹۷۳، sec. 7.1)
  123. ↑ (Arnowitt، Deser و Misner ۱۹۶۲)؛ برای مقدمه (Misner، Thorne و Wheeler ۱۹۷۳، §۲۱٫۴–§۲۱٫۷)
  124. ↑ (Fourès–Bruhat ۱۹۵۲) and (Bruhat ۱۹۶۲); برای مقدمه (Wald ۱۹۸۴، ch. 10) را ببینید؛ بررسی آنلاین در (Reula ۱۹۹۸)
  125. ↑ (Gourgoulhon ۲۰۰۷)؛ برای مرور مبانی نسبیت عددی، شامل مسائلی که از معادلات اینشتین سرچشمه می‌گیرند.(Lehner ۲۰۰۱)
  126. ↑ (Misner، Thorne و Wheeler ۱۹۷۳، §۲۰٫۴)
  127. ↑ (Komar ۱۹۵۹); برای یک مقدمه آموزنده (Wald ۱۹۸۴، sec. 11.2) را ببینید؛ اگرچه به طریق کاملاً متفاوتی تعریف شده اما می‌توان نشان داد که برای فضازمانهای ثابت معادل جرم ای دی ام است، (Ashtekar و Magnon–Ashtekar ۱۹۷۹) را ببینید.
  128. ↑ برای مقدمه‌ای آموزنده (Wald ۱۹۸۴، sec. 11.2) را ببینید.
  129. ↑ (Wald ۱۹۸۴، ص. ۲۹۵ و مراجع آن); این در پرسسش پایداری حائز اهمیت است — اگر جرم منفی وجود داشت، فضای خالی و تخت مینکوفسکی که جرم صفر دارد ممکن بود از این حالت تغییر کند و جرم مثبت یا منفی بگیرد.
  130. ↑ (Townsend ۱۹۹۷، ch. 5)
  131. ↑ (Ramond ۱۹۹۰), (Weinberg ۱۹۹۵), (Peskin و Schroeder ۱۹۹۵)؛ مرور قابل فهم تری در (Auyang ۱۹۹۵) موجود است.
  132. ↑ (Wald ۱۹۹۴), (Birrell و Davies ۱۹۸۴)
  133. ↑ (Wald ۲۰۰۱، ch. 3)
  134. ↑ (Schutz ۲۰۰۳، ص. ۴۰۷)
  135. ↑ یک گاه‌شمار و بررسی کلی را می‌توان در(Rovelli ۲۰۰۰) یافت.
  136. ↑ (Donoghue ۱۹۹۵)
  137. ↑ (Green، Schwarz و Witten ۱۹۸۷، sec. 4.2)
  138. ↑ (Weinberg ۲۰۰۰، ch. 31)
  139. ↑ (Townsend ۱۹۹۶), (Duff ۱۹۹۶)
  140. ↑ (Kuchař ۱۹۷۳، sec. 3)
  141. ↑ (Ashtekar ۱۹۸۶), (Ashtekar ۱۹۸۷)
  142. ↑ برای مرور (Thiemann ۲۰۰۶) را ببینید؛ بحث‌های مفصل تر در (Rovelli ۱۹۹۸) یافت می‌شود، (Ashtekar و Lewandowski ۲۰۰۴) و همچنین در جزوه‌های (Thiemann ۲۰۰۳)
  143. ↑ (Loll ۱۹۹۸)
  144. ↑ (Sorkin ۲۰۰۵)
  145. ↑ (Penrose ۲۰۰۴، ch. 33 and refs therein)
  146. ↑ (Hawking ۱۹۸۷)
  147. ↑ (Ashtekar ۲۰۰۷), (Schwarz ۲۰۰۷)
  148. ↑ (Maddox ۱۹۹۸، صص. ۵۲–۵۹, ۹۸–۱۲۲); (Penrose ۲۰۰۴، sec. 34.1, ch. 30)
  149. ↑ (Friedrich ۲۰۰۵)
  150. ↑ مروری بر مسائل مختلف و روش‌های حل آن‌ها، (Lehner ۲۰۰۲) را ببینید.
  151. ↑ مثلاً مجلهٔ الکترونیکی مرورها را ببینید. Living Reviews in Relativity بایگانی‌شده در ۲۷ دسامبر ۲۰۱۶ توسط Wayback Machine

کتابشناسی

جستارهای وابسته

کتاب‌های مشهور
کتاب‌های در سطح کارشناسی ابتدایی
  • Callahan, James J. (۲۰۰۰)، The Geometry of Spacetime: an Introduction to Special and General Relativity [هندسه فضازمان: مقدمه‌ای بر نسبیت خاص و عام]، New York: Springer، شابک ۰-۳۸۷-۹۸۶۴۱-۳
  • Taylor, Edwin F. ; Wheeler, John Archibald (۲۰۰۰)، Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity [اکتشاف سیاهچاله‌ها: مقدمه‌ای بر نسبیت عام]، Addison Wesley، شابک ۰-۲۰۱-۳۸۴۲۳-X
کتاب‌های در سطح کارشناسی پیشرفته
  • B. F. Schutz (۲۰۰۹)، A first Course in General Relativity (Second Edition) [یک دوره اولیه در نسبیت عام (ویرایش دوم)]، Cambridge University Press، شابک ۹۷۸-۰-۵۲۱-۸۸۷۰۵-۲
  • Cheng, Ta–Pei (۲۰۰۵)، Relativity, Gravitation and Cosmology: a Basic Introduction [نسبیت، گرانش و کیهان‌شناسی: مقدمه ابتدایی]، Oxford and New York: Oxford University Press، شابک ۰-۱۹-۸۵۲۹۵۷-۰
  • Gron، O.؛ Hervik، S. (۲۰۰۷)، Einstein's General theory of Relativity [نظریه نسبیت عام اینشتین]، Springer، شابک ۹۷۸-۰-۳۸۷-۶۹۱۹۹-۲
  • Hartle, James B. (۲۰۰۳)، Gravity: an Introduction to Einstein's General Relativity [گرانش: آشنایی با نسبیت عام]، San Francisco: Addison–Wesley، شابک ۰-۸۰۵۳-۸۶۶۲-۹
  • Hughston, L. P. & Tod, K. P. (۱۹۹۱)، Introduction to General Relativity [آشنایی با نسبیت عام]، Cambridge: Cambridge University Press، شابک ۰-۵۲۱-۳۳۹۴۳-X
  • d'Inverno, Ray (۱۹۹۲)، Introducing Einstein's Relativity [معرفی نسبیت اینشتین]، Oxford: Oxford University Press، شابک ۰-۱۹-۸۵۹۶۸۶-۳
کتاب‌های در سطح کارشناسی ارشد

پیوند به بیرون

دوره ها/کلاس ها/خودآموزها
Pusat Layanan

UNIVERSITAS TEKNOKRAT INDONESIA | ASEAN's Best Private University
Jl. ZA. Pagar Alam No.9 -11, Labuhan Ratu, Kec. Kedaton, Kota Bandar Lampung, Lampung 35132
Phone: (0721) 702022
Email: pmb@teknokrat.ac.id