چهارگان

چهارگان‌ها یا کواترنیون‌ها (به انگلیسی: Quaternion) یک سیستم عددنویسی هستند که به بسط اعداد مختلط می‌انجامند. چهارگان‌ها اولین بار توسط ویلیام روآن همیلتون در اکتبر سال ۱۸۴۳ ابداع و ارائه گردید و از آن پس این مفهوم در مکانیک و در فضای سه‌بعدی مورد استفاده قرار گرفته‌است.

از خواص چهارگان‌ها اینکه ضرب آن‌ها خاصیت جابجایی ندارند.

چهارگان‌ها معمولاً به صورت زیر مطرح می‌شوند: (که c ،b ،a و d اعداد حقیقی و j ،i و k نیز واحدهای اصلی چهارگان را تشکیل می‌دهند و H ابتدای نام همیلتون است)

$H=a.1+b.i+c.j+d.k$

همیلتون در ۱۶ اکتبر ۱۸۴۳ زمانی که در طول کانال سلطنتی به سمت آکادمی ایرلند در حرکت بود، ایده چهارگان‌ها به ذهنش رسید. او به قدری از یافتهٰ خود خوشحال شد که فرمول ابتدایی آن را همان‌جا روی دیوار پل بروم (Broome Bridge) حک کرد به‌طوری‌که بعدها به این پل یک جنبه تاریخی خاص و در عین حال ارزشمند بخشید:^[۱]

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,

از فرمول ابتدایی همیلتون، عبارتهای زیر به دست می‌آیند که معادل با ضرب برداری در فضای ۳ بعدی هستند. (قوانین همیلتون)

{\begin{matrix}ij&=&k,&&&&ji&=&-k,\\jk&=&i,&&&&kj&=&-i,\\ki&=&j,&&&&ik&=&-j.\end{matrix}}

برخی از کاربردها

- بسیاری از فراکتالها در فضای چهارگان (کواترنیون)ها، توضیح داده می‌شوند.^[۲]

- کواترنیون‌ها عملاً در اثبات تئوری مجموع چهار مجذور لاگرانژ نیز بکار برده شده‌است. این تئوری بیان می‌کند هر عدد صحیح غیر منفی را می‌توان به صورت مجموع حداکثر چهار مجذور کامل نوشت:^[۳]

$3=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}$

$31=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}$

و در انتها جمله‌ای از سر ویلیام همیلتون:

گفته می‌شود زمان تنها یک بُعد دارد و فضا هم سه بُعد، کواترنیون ریاضیات هر دو عنصر را داراست: به زبان دقیق‌تر، گفته می‌شود «زمان به اضافه مکان» یا «مکان به اضافه زمان» و به این ترتیب به چهار بُعد ارجاع داده می‌شود.^[۴]

منابع

↑ «Brougham Bridge». دریافت‌شده در ۲۰۱۷-۰۸-۰۵.
↑ W., Weisstein, Eric. "Quaternion" (به انگلیسی). Retrieved 2017-08-05.
↑ W., Weisstein, Eric. "Lagrange's Four-Square Theorem" (به انگلیسی). Retrieved 2017-08-05.
↑ آی هوش. «چهارگان». ihoosh.ir. بایگانی‌شده از اصلی در ۵ اوت ۲۰۱۷. دریافت‌شده در ۵ اوت ۲۰۱۷.

پیوند به بیرون

این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.

[1] «Brougham Bridge». دریافت‌شده در ۲۰۱۷-۰۸-۰۵.

[2] W., Weisstein, Eric. "Quaternion" (به انگلیسی). Retrieved 2017-08-05.

[3] W., Weisstein, Eric. "Lagrange's Four-Square Theorem" (به انگلیسی). Retrieved 2017-08-05.

[4] آی هوش. «چهارگان». ihoosh.ir. بایگانی‌شده از اصلی در ۵ اوت ۲۰۱۷. دریافت‌شده در ۵ اوت ۲۰۱۷.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

ن ب و دستگاه اعداد
مجموعه‌های شمارا	اعداد طبیعی( $\mathbb {N}$ ) اعداد صحیح( $\mathbb {Z}$ ) اعداد گویا( $\mathbb {Q}$ ) اعداد ترسیم پذیر اعداد جبری( $\mathbb {A}$ ) دوره (نظریه اعداد) Computable number Definable real number Arithmetical numbers Gaussian integer
جبرهای ترکیبی	جبر تقسیم: اعداد حقیقی( $\mathbb {R}$ ) اعداد مختلط( $\mathbb {C}$ ) چهارگان‌ها( $\mathbb {H}$ ) هشتگان‌ها( $\mathbb {O}$ )
انواع دوقسمتی	over $\mathbb {R}$ : Split-complex number Split-quaternion Split-octonion روی $\mathbb {C}$ : Bicomplex number Biquaternion Bioctonion
اعداد ابرمختلط دیگر	Dual number Dual quaternion Dual-complex number Hyperbolic quaternion شانزدهگان‌ها ( $\mathbb {S}$ ) Split-biquaternion Multicomplex number Geometric algebra Algebra of physical space Spacetime algebra
انواع دیگر	اعداد اصلی اعداد گنگ اعداد فازی اعداد ابرحقیقی Levi-Civita field Surreal numbers اعداد ترافرازنده اعداد ترتیبی عدد پی-ادیک (p-adic solenoids) Supernatural numbers Superreal numbers
عدد List

داده‌های کتابخانه‌ای
کتابخانه‌های ملی	اسپانیا فرانسه (داده‌ها) آلمان اسرائیل ایالات متحده آمریکا لتونی ژاپن جمهوری چک
سایر	کاربرد چندوجهی اصطلاحات موضوعی