Technopedia Center
PMB University Brochure
Faculty of Engineering and Computer Science
S1 Informatics S1 Information Systems S1 Information Technology S1 Computer Engineering S1 Electrical Engineering S1 Civil Engineering

faculty of Economics and Business
S1 Management S1 Accountancy

Faculty of Letters and Educational Sciences
S1 English literature S1 English language education S1 Mathematics education S1 Sports Education
teknopedia

teknopedia

teknopedia

teknopedia

teknopedia

teknopedia
teknopedia
teknopedia
teknopedia
teknopedia
teknopedia
url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url url
  2. Weltenzyklopädie
  3. مسئله پایان خوش - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
مسئله پایان خوش - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
مسئلهٔ پایان خوش: هر مجموعه‌ای شامل پنج نقطه با موقعیت عمومی، دارای رئوس یک چهارضلعی محدب هستند..

مسئلهٔ پایان خوش (که توسط پل اردیش نامگذاری شده‌است، چرا که به ازدواج جورج سیکریس و استر کلاین منجر شد) گزارهٔ ذیل است:

قضیه. هر مجموعهٔ پنج تایی از نقاط در صفحه که دارای موقعیت عمومی[۱] هستند، یک زیرمجموعهٔ متشکل از چهار نقطه دارد که این نقاط رأس‌های یک چهار ضلعی محدب را تشکیل می‌دهند.

این قضیه یکی از نتایج اصلی است که منجر به ظهور نظریهٔ رمزی شد.

قضیهٔ پایان خوش، با تحلیل یک حالت ساده اثبات می‌شود: اگر چهار یا تعداد بیش‌تری نقطه، رأس‌های یک بدنهٔ محدب باشند، هر چهار نقطه‌ای به این شکل می‌توانند انتخاب شوند. از طرفی دیگر، اگر مجموعهٔ نقاط به فرم یک مثلث با دو نقطه درون آن باشند، دو نقطهٔ درونی و یکی از اضلاع مثلث می‌توانند انتخاب شوند. برای توضیح مصور این اثبات، پترسون (۲۰۰۰) را ببینید و برای بررسی دقیق‌تر این مسئله نسبت به آنچه اینجا ارائه شده‌است، موریس و سالتن (۲۰۰۰) را ببینید.

تخمین اردوش-سیکریس رابطهٔ کلی بین تعداد نقاطی که در یک مجموعهٔ نقاط با موقعیت عمومی هستند و بزرگ‌ترین چندضلعی محدب آن را به‌طور دقیق بیان می‌کند. این مسئله اثبات‌نشده باقی می‌ماند، اما مرزهای دقیق کم‌تری شناخته شده‌است.

چندضلعی‌های درجهٔ بالاتر

یک مجموعه از ۸ نقطه با موقعیت عمومی و بدون پنج‌ضلعی محدب.

دو دانشمند به نام‌های اردوش و سیکریس این قضیه را به صورت زیر تعمیم داده‌اند:

قضیه. برای هر عدد صحیح مثبت N، هر مجموعهٔ بزرگ ناتهی و کافی از نقاط در صفحه که هیچ سه تایی از آن‌ها روی یک خط نباشند و هیچ دوتایی از آن‌ها روی هم نباشند (موقعیت عمومی)، شامل یک زیرمجموعه از N نقطه است که رئوس چندضلعی محدب را تشکیل می‌دهند.

اثبات قضیه اردیش–ژکرس در مقاله‌ای که قضیهٔ زیردنباله‌های یکنواخت در دنباله‌های عددی را اثبات می‌کند آمده است.

فرض کنید (f(N کمترین مقدار M را نشان دهد که برای هر مجموعه از M نقطه در موقعیت عمومی یک Nضلعی محدب وجود داشته باشد. داریم:

  • f(۳) = ۳، بدیهی.
  • f(۴) = ۵.[۲]
  • f(۵) = ۹.[۳] مجموعه‌ای از هشت نقطه که پنج ضلعی محدب ندارند در شکل نشان داده شده‌است، که نشان می‌دهد f(5)> ۸ است. قسمت دشوارتر اثبات این است که نشان دهیم هر مجموعه از ۹ نقطه در وضعیت معمولی دارای رئوس یک پنج‌ضلعی محدب است.
  • f(۶) = ۱۷.[۴]
  • مقدار f برای اعداد بیشتر از ۶ نامعلوم است، اما با توجه به نتیجهٔ مقالهٔ اردوش-سیکریس (۱۹۳۵) می‌دانیم مقدار متناهی دارد.

بر مبنای مقادیر مشخص (f(N، یعنی برای N = ۳, ۴, ۵، اردوش و سیکریس در مقالهٔ اصلی خود رابطهٔ زیر را تخمین زدند:
به ازای هر N ≥ ۳


بعدها این دو نفر با زدن مثال‌های خارجی دیگر ثابت کردند که:

[۵]

اما بهترین کران بالا برای حالت‌هایی که N ≥ ۷ است، به صورت زیر است:[۶]


چندضلعی‌های خالی

ممکن است سؤال پیش بیاید که آیا برای هر مجموعهٔ کافی از نقاط در موقعیت عمومی دارای یک چهارضلعی، پنج‌ضلعی و.. هست یا نه، به این معنی که نیاز به نقطه ورودی جدید نداشته باشد. راه حل اصلی مسئلهٔ پایان خوش را می‌توان طوری تطابق داد که نشان دهد به ازای هر پنج نقطه با وضعیت موقعیت عمومی در صفحه یک چهارضلعی محدب خالی وجود دارد، همان‌طور که در تصویر نشان داده شده، و به ازای هر ده نقطه با شرایط فوق یک پنج‌ضلعی محدب خالی وجود دارد.[۷] اگرچه مجموعه‌های بزرگ و دلخواهی از نقاط با موقعیت عمومی ممکن است وجود داشته باشند که هیچ هفت‌ضلعی خالی برای آن‌ها یافت نشود.[۸]
برای مدت طولانی این سؤال که آیا شش‌ضلعی خالی وجود دارد یا نه، بدون پاسخ ماند، ولی نیکولاس (۲۰۰۷) و گرکن (۲۰۰۸) ثابت کردند که به ازای هر مجموعهٔ کافی از نقاط با موقعیت عمومی در صفحه یک شش‌ضلعی محدب خالی وجود دارد. به صورت خاص، گرکن نشان داد که تعداد نقاط مورد نیاز بیشتر از (f(۹ نیست. (f در بالا تعریف شده) درحالیکه نیکولاس نشان داد این مقدار حداکثر به اندازهٔ (f(۲۵ است. (Valtr(۲۰۰۶ اثبات گرکن را ساده می‌کند و نشان می‌دهد که به نقاط بیشتری از (f(۹، یعنی به اندازهٔ (f(۱۵ که برابر ۳۰ نقطه می‌شود، نیاز داریم، چرا که یک مجموعه از ۲۹ نقطه در موقعیت عمومی در صفحه وجود دارد که برای آن شش‌ضلعی محدب خالی وجود ندارد.[۹]

مسائل مرتبط

مسئلهٔ پیدا کردن مجموعه‌عای شامل n نقطه به طوری که تعداد چندضلعی‌های محدب را کمینه کند، مشابه کمینه‌کردن تعداد عبور در یک ترسیمِ خطِ مستقیمِ یک گراف کامل است. تعداد چندضلعی‌ها باید متناسب با توان چهارم n باشد، اما مقدار ثابت دقیقی، مشخص نیست.[۱۰] به‌طور سرراست می‌توان نشان داد که در فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر، مجموعه‌های به اندازهٔ کافی بزرگ از نقاط، یک زیرمجموعه از k نقطه خواهند داشت که رأس‌های یک چندبر محدب را تشکیل می‌دهند، برای هر k بزرگ‌تر از بُعد: این مسئله خیلی سریع از موجود بودن k-ضلعی محدب در مجموعه‌های نقاط مسطح به اندازهٔ کافی بزرگ پیروی می‌کند، به این صورت که مجموعه نقاط با ابعاد بالاتر را در یک شبه فضای دوبعدی اختیاری طراحی می‌کند. اما تعداد نقاط لازم برای پیدا کردن K نقطه در حالت محدب ممکن است در ابعاد بالاتر نسبت به حالتی که در صفحه است، کم‌تر باشد، و همچنین پیدا کردن زیرمجموعه‌هایی که محدودتر هستند، امکان‌پذیر است. به‌طور مشخص، در d بعد، هر d + ۳ نقطه در موقعیت عمومی، یک زیرمجموعه از d + ۲ نقطه دارد که رئوس یک چندبر چرخه‌ای[۱۱] را تشکیل می‌دهند. در حالت کلی‌تر، برای هر d و k> d، عدد (m(d, k وجود دارد به گونه‌ای که هر مجموعه از (m(d, k نقطه در موقعیت عمومی یک زیر مجموعه از k نقطه خواهد داشت که رئوس یک چندبر همسایگی[۱۲] را تشکیل می‌دهد.

نکات

  1. ↑ در این متن، موقعیت عمومی به این معناست که هیچ سه نقطه‌ای روی یک خط نیستند و هیچ دو نقطه‌ای روی هم قرار ندارند. مسئلهٔ اصلی این بود که توسط Esther Klein اثبات شد.
  2. ↑ مسئلهٔ اصلی این بود که توسط Esther Klein اثبات شد.
  3. ↑ طبق مقالهٔ اردوش-سیکریس (1935) این مسئله ابتدا توسط E.Makai ثابت شده و اولین بار در (Kalbfleisch, Kalbfleisch & Stanton (1970 چاپ شده است.
  4. ↑ این مسئله توسط (Erdos – Peters(2006 اثبات شده است، آن‌ها یک برنامهٔ کامپیوتری طراحی کردند که تمام حالاتی که برای 17 نقطه شش‌ضلعی محدب خالی وجود نداشت را حذف کند، البته تعداد حالات معدودی از شکل‌ها را بررسی کردند.
  5. ↑ (Erdos – Szekeres(1961
  6. ↑ (Toth – Valtr(2005، برای اطلاعات بیشتر راجع به علامت‌های استفاده شده در این بخش به مقالهٔ binomial coefficient و نماد O بزرگ و برای اطلاعات جانبی بیشتر به اعداد کاتالان و Stirling’s approximation مراجعه کنید.
  7. ↑ (Harborth(1978
  8. ↑ (Horton(1983
  9. ↑ (Overmars(2003
  10. ↑ (Scheinerman & Wilf(1994
  11. ↑ (Grunbaum(2003، صفحهٔ 120، مثال 6.5.6 – این نتیجه را به یک ارتباط خصوصی با Micha.A.Perles نسبت می‌دهد.
  12. ↑ (Grunbaum(2003، صفحهٔ 126، مثال 7.3.6 – این نتیجه به دنبال اثبات تئوریک رمزی می‌آید که مشابه اثبات نتیجه برای حالت k = d + 2 توسط Szekeres و Perles است.

منابع

  • Chung, F.R.K.; Graham, R.L. (1998), "Forced convex n-gons in the plane", Discrete and Computational Geometry, ۱۹ (۳): ۳۶۷–۳۷۱, doi:10.1007/PL00009353.
  • Erdős, P.; Szekeres, G. (1935), "A combinatorial problem in geometry", Compositio Math, ۲: ۴۶۳–۴۷۰.
  • Erdős, P.; Szekeres, G. (1961), "On some extremum problems in elementary geometry", Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math., ۳–۴: ۵۳–۶۲. Reprinted in: Erdős, P. (1973), Spencer, J. (ed.), The Art of Counting: Selected Writings, Cambridge, MA: MIT Press, pp. ۶۸۰–۶۸۹.
  • Gerken, Tobias (2008), "Empty convex hexagons in planar point sets", Discrete and Computational Geometry, ۳۹ (۱–۳): ۲۳۹–۲۷۲, doi:10.1007/s00454-007-9018-x.
  • Grünbaum, Branko (2003), Kaibel, Volker; Klee, Victor; Ziegler, Günter M. (eds.), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 221 (2nd ed.), اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا, ISBN 0-387-00424-6.
  • Harborth, Heiko (1978), "Konvexe Fünfecke in ebenen Punktmengen", Elem. Math., ۳۳ (۵): ۱۱۶–۱۱۸.
  • Horton, J. D. (1983), "Sets with no empty convex 7-gons", Canadian Mathematical Bulletin, ۲۶ (۴): ۴۸۲–۴۸۴, doi:10.4153/CMB-1983-077-8.
  • Kalbfleisch, J.D.; Kalbfleisch, J.G.; Stanton, R.G. (1970), "A combinatorial problem on convex regions", Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing, Congressus Numerantium, vol. ۱, Baton Rouge, La.: Louisiana State Univ., pp. ۱۸۰–۱۸۸.
  • Kleitman, D.J.; Pachter, L. (1998), "Finding convex sets among points in the plane", Discrete and Computational Geometry, ۱۹ (۳): ۴۰۵–۴۱۰, doi:10.1007/PL00009358.
  • Morris, W.; Soltan, V. (2000), "The Erdős-Szekeres problem on points in convex position—A survey", Bulletin of the American Mathematical Society, ۳۷ (۰۴): ۴۳۷–۴۵۸, doi:10.1090/S0273-0979-00-00877-6.
  • Nicolás, Carlos M. (2007), "The empty hexagon theorem", Discrete and Computational Geometry, ۳۸ (۲): ۳۸۹–۳۹۷, doi:10.1007/s00454-007-1343-6.
  • Overmars, M. (2003), "Finding sets of points without empty convex 6-gons", Discrete and Computational Geometry, ۲۹ (۱): ۱۵۳–۱۵۸, doi:10.1007/s00454-002-2829-x.
  • Peterson, Ivars (2000), "Planes of Budapest", MAA Online.
  • Scheinerman, Edward R.; Wilf, Herbert S. (1994), "The rectilinear crossing number of a complete graph and Sylvester's "four point problem" of geometric probability", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 101 (۱۰): ۹۳۹–۹۴۳, doi:10.2307/2975158, JSTOR ۲۹۷۵۱۵۸.
  • Szekeres, G.; Peters, L. (2006), "Computer solution to the 17-point Erdős-Szekeres problem", ANZIAM Journal, ۴۸ (۰۲): ۱۵۱–۱۶۴, doi:10.1017/S144618110000300X, archived from the original on 13 December 2019, retrieved 11 December 2013.
  • Tóth, G.; Valtr, P. (1998), "Note on the Erdős-Szekeres theorem", Discrete and Computational Geometry, ۱۹ (۳): ۴۵۷–۴۵۹, doi:10.1007/PL00009363.
  • Tóth, G.; Valtr, P. (2005), "The Erdős-Szekeres theorem: upper bounds and related results", Combinatorial and computational geometry, Mathematical Sciences Research Institute Publications, no. ۵۲, pp. ۵۵۷–۵۶۸.
  • Valtr, P. (2006), On the empty hexagons.

پیوند به بیرون

Pusat Layanan

UNIVERSITAS TEKNOKRAT INDONESIA | ASEAN's Best Private University
Jl. ZA. Pagar Alam No.9 -11, Labuhan Ratu, Kec. Kedaton, Kota Bandar Lampung, Lampung 35132
Phone: (0721) 702022
Email: pmb@teknokrat.ac.id