قضیه لیوویل (آنالیز مختلط)

قضیهٔ لیوویل (جوزف لیوویل) در توابع مختلط بیان می‌کند که یک تابع کراندار تام (تام به معنای تحلیلی بر روی کل صفحهٔ مختلط) تابعی ثابت است.^[۱]^[۲]

دست‌آوردها

قضیهٔ اساسی جبر

یک چندجمله‌ای $P(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}\in \mathbb {C} [z]$ هر گاه $n\geq 1$ دست کم دارای یک ریشه است.^[۳]^[۴]

طرحی از اثبات به کمک قضیهٔ لیوویل: فرض کنید برای هر عدد مختلط $z$ ای $P(z)\neq 0$ . بنابراین تابع $f(z)={\frac {1}{P(z)}}$ تام است. اکنون با کمک نامساوی‌های $|a|-|b|\leq |a+b|\leq |a|+|b|$ یک عدد حقیقی مثبت مانند $R$ بیابید که برای هر نقطه بیرون از دایرهٔ به مرکز مبدأ مختصات و شعاع $R$ داشته باشیم $|f(z)|\leq {\frac {2}{|a_{n}|R^{n}}}$ .

به کمک قضیه‌ای که بیان می‌کرد هر تابع پیوستهٔ حقیقی‌مقدار بر روی یک مجموعهٔ فشرده بیشینه و کمینهٔ مطلق خویش را اتخاذ می‌کند یک عدد حقیقی مثبت $M$ بیابید که برای هر نقطه درون و روی دایرهٔ یاد شده داشته باشیم $|f(z)|\leq M$ . اینک $max\{{\frac {2}{|a_{n}|R^{n}}},M\}$ یک کران تابع $f(z)$ است. پس $f(z)$ تام و کراندار است و از قضیهٔ لیوویل باید تابعی ثابت باشد که در حالت $n\geq 1$ تناقض است. پس فرض خلف باطل و از آنجا چندجمله‌ای ما دارای ریشه است.

منابع

↑ امیر خسروی، متغیرهای مختلط و کاربردها، صفحهٔ ۱۷۷، قضیهٔ یک
↑ محمود حصارکی، محمدرضا پورنکی، توابع مختلط، صفحهٔ ۱۷۸، قضیهٔ ۲۶٫۲٫۴
↑ امیر خسروی، متغیرهای مختلط و کاربردها، صفحهٔ ۱۷۷، قضیهٔ دو
↑ محمود حصارکی، محمدرضا پورنکی، توابع مختلط، صفحهٔ ۱۷۹، قضیهٔ ۲۷٫۲٫۴

ترجمهٔ امیر خسروی، ویراستهٔ علی عمیدی، تألیف جیمز وارد براون و روئل و. چرچیل، متغیرهای مختلط و کاربردها، مرکز نشر دانشگاهی، چاپ هفتم، (۱۳۸۶)
تألیف: مجمود حصارکی، محمدرضا پورنکی، ویراستار: ارشک حمیدی، توابع مختلط، انتشارات فاطمی، چاپ یکم، (۱۳۸۲)

[1] امیر خسروی، متغیرهای مختلط و کاربردها، صفحهٔ ۱۷۷، قضیهٔ یک

[2] محمود حصارکی، محمدرضا پورنکی، توابع مختلط، صفحهٔ ۱۷۸، قضیهٔ ۲۶٫۲٫۴

[3] امیر خسروی، متغیرهای مختلط و کاربردها، صفحهٔ ۱۷۷، قضیهٔ دو

[4] محمود حصارکی، محمدرضا پورنکی، توابع مختلط، صفحهٔ ۱۷۹، قضیهٔ ۲۷٫۲٫۴

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]