جبر ترکیبی

در ریاضیات، جبر ترکیبی (به انگلیسی: Composition Algebra)، $A$ روی میدان $K$ ، جبری روی $K$ است که لزوماً شرکت پذیر نبوده و دارای فرم مربعی ناتبهگن $N$ است که در معادله زیر برای تمام $x$ و $y$ در $A$ صدق کند:

N(xy)=N(x)N(y)

یک جبر ترکیبی شامل پیچشی است که به آن تزویج (عمل مزدوج سازی) گفته و به صورت $x\mapsto x^{*}.$ عمل می کند. فرم مربعی $N(x)\ =\ xx^{*}$ را نرم این جبر می گویند.

جبر ترکیبی $\left(A,*,N\right)$ یا یک جبر تقسیم است یا یک جبر شکافنده، بسته به این که آیا $v$ ناصفری در $A$ وجود داشته باشد چنان که $N(v)=0$ ، که به آن بردار پوچ گفته می شود.^[۱] هرگاه $x$ بردار پوچ نباشد، معکوس ضربی $x$ به صورت ${\frac {x^{*}}{N(x)}}$ خواهد بود. هرگاه جبر ترکیبی دارای بردار پوچ نا-صفر باشد، $N$ فرم مربعی ایزوتروپیک خواهد بود و اصطلاحاً گفته می شود "جبر شکافته می شود".

پانویس

↑ Springer, T. A.; F. D. Veldkamp (2000). Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups. Springer-Verlag. p. 18. ISBN 3-540-66337-1.

برای مطالعه بیشتر

Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Analysis on symmetric cones. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York. pp. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. MR 1446489.
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
Harvey, F. Reese (1990). Spinors and Calibrations. Perspectives in Mathematics. Vol. 9. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002.

[1] Springer, T. A.; F. D. Veldkamp (2000). Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups. Springer-Verlag. p. 18. ISBN 3-540-66337-1.

[۱]