Generalized Inverse Gaussian

پارامترها	${\displaystyle a>0,b>0,p\in \mathbb {R} }$
تکیه‌گاه	${\displaystyle x>0}$
Unknown type	${\displaystyle f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2}}$
میانگین	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {b}}\ K_{-1-p}({\sqrt {ab}})}{{\sqrt {a}}\ K_{p}({\sqrt {ab}})}}}$
مُد	${\displaystyle {\frac {(p-1)+{\sqrt {(p-1)^{2}+ab}}}{a}}}$
Unknown type	${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {b}{a}}{\Bigl )}\left[{\frac {K_{p+2}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}-{\Biggl (}{\frac {K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}{\Biggr )}^{2}\right]}$
تابع مولد گشتاور	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{a-2t}}{\biggl )}^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}({\sqrt {b(a-2t)}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}}$

توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته (GIG : Generalized Inverse Gaussian) در نظریه احتمال و آمار یک توزیع پیوسته با سه پارامتر است. تابع چگالی احتمال این توزیع به صورت زیر است:

${\displaystyle f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2},\qquad x>0,}$

که ${\displaystyle K_{p}}$یک تابع بسل اصلاح شده از نوع دوم است، a و b مقادیری مثبت و p یک پارامتر حقیقی است. این توزیع به طور گسترده‌ای در زمین‌آمار، زبانشناسی آماری، دانش مالی و سرمایه‌گذاری و غیره استفاده میشد.

بارندورف-نیلسن (O. Barndorff-Nielsen) و هالگرین (C. Halgreen) اثبات کردند که توزیع GIG بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.^[۱]

آنتروپی توزیع GIG به صورت زیر داده میشود:

${\displaystyle {\begin{aligned}H={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {b}{a}}\right)&{}+\log \left(2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)-(p-1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}}{K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\\&{}+{\frac {\sqrt {ab}}{2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\left(K_{p+1}\left({\sqrt {ab}}\right)+K_{p-1}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)\end{aligned}}}$

توزیع گاوسی معکوس و توزیع گاما حالت‌های خاصی از توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ${\displaystyle p=-1/2}$ و ${\displaystyle b=0}$ هستند.^[۲]

به طور دقیق‌، یک توزیع گاوسی معکوس با فرم

${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )=\left[{\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right]^{1/2}\exp {\frac {-\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}$

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ${\displaystyle a=\lambda /\mu ^{2}}$، ${\displaystyle b=\lambda }$ و ${\displaystyle p=-1/2}$ است.

یک توزیع گاما با فرم

${\displaystyle {\displaystyle g(x;\alpha ,\beta )=\beta ^{\alpha }{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}}$

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ${\displaystyle a=2\beta }$، ${\displaystyle b=0}$ و ${\displaystyle p=\alpha }$ است.

یک توزیع گاما معکوس، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ${\displaystyle a=0}$ و ${\displaystyle p<0}$ است.^[۳]

یک توزیع هایپربولیک، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ${\displaystyle p=0}$ است.^[۲]

${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle Y}$ را دو متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که ${\displaystyle X>0}$ و ${\displaystyle Y\sim \gamma (p,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle p,a>0}$. در این صورت داریم ${\displaystyle X=d{\frac {1}{Y+X}}}$ اگر و فقط اگر ${\displaystyle X\sim GIG(-p,a,a)}$.

${\displaystyle X}$، ${\displaystyle Y_{1}}$ و ${\displaystyle Y_{2}}$ را سه متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که ${\displaystyle X>0}$، ${\displaystyle Y_{1}\sim \gamma (p,{\frac {b}{2}})}$ و ${\displaystyle Y_{2}\sim \gamma (p,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle p,a,b>0}$. در این صورت داریم ${\displaystyle X=d{\frac {1}{Y_{1}+{\frac {1}{Y_{2}+X}}}}}$ اگر و فقط اگر ${\displaystyle X\sim GIG(-p,a,b)}$.

به طور کلی اگر ${\displaystyle (Y_{i})_{i\geq 1}}$ یک دنباله از متغیر تصادفی‌های مستقل از هم باشد به طوری که ${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y_{2i-1})={\mathcal {L}}(Y_{1})=\gamma (\lambda ,{\frac {b}{2}})}$ و ${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y_{2i})={\mathcal {L}}(Y_{2})=\gamma (\lambda ,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle i\geq 1}$، آنگاه داریم:

${\displaystyle {\mathcal {L}}{\Biggl (}{\frac {1}{Y_{1}+{\frac {1}{Y_{2}+{\frac {1}{Y_{3}+{}^{._{._{.}}}}}}}}}{\Biggr )}=GIG(-\lambda ,a,b)}$.^[۴]

دو متغیر تصادفی مثبت و مستقل از هم ${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle Y}$ را در نظر بگیرید به طوری که ${\displaystyle X\sim GIG(-p,a,b)}$ و ${\displaystyle Y\sim \Gamma (p,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle p,a,b>0}$. خاصیت Matsumoto-Yor بیان می‌کند که متغیر تصادفی‌های ${\displaystyle U={\frac {1}{X+Y}}}$ و ${\displaystyle V={\frac {1}{X}}-{\frac {1}{X+Y}}}$ از هم مستقل هستند.^[۵]

• Jorgensen در سال 1982 ثابت کرد که توزیع GIG فیت مناسب‌تری نسبت به توزیع نمایی در داده های مورد استفاده در موارد زیر است:^[۴]
  • فواصل زمانی بین خرابی‌های پی‌در‌پی تجهیزات تهویه‌ی هوا در هواپیمای بوئینگ 720
  • فواصل زمانی بین ضربان‌ها در یک فیبر عصبی
  • فواصل زمانی بین رد شدن وسایل نقلیه از یک نقطه
• Iyengar و Liao در سال 1997: فعالیت عصبی؛ مقایسه بین فیت توزیع GIG و فیت توزیع نرمال لگاریتمی.^[۴]
• Chebana et al در سال 2010: کاربرد در وقایع مفرط هیدرولوژیکی^[۴]