قانون هوک خواص فیزیکی فنرهای معمولی را برای جابجایی‌های کوچک به خوبی و با دقت بالایی مدل می‌کند. (تصویر متحرک ). استاد دانشگاه والتر لوین در حال توضیح قانون هوک، بیان می‌دارد که این قانون یکی از مهم‌ترین رابطه‌های کشف شده در فیزیک است. درسی ۸٫۰۱ دانشگاه‌ام آی تی [ ۱] یک آزمایش روی قانون هوک (MIT OCW )[ ۲] قانون هوک در فیزیک ، مکانیک و دانش مواد کشسانی (الاستیسیته)، تقریبی است نشان دهندهٔ آن که تغییر طول یک ماده با بار وارد بر آن رابطهٔ خطی دارد. بسیاری از مواد تا زمانی که نیرو از حد کشسانی آن‌ها کمتر باشد با تقریب خوبی از این قانون پیروی می‌کنند. انحراف از قانون هوک با افزایش میزان تغییرشکل زیاد می‌شود به‌طوری‌که در تغییرشکل‌های زیاد، با خارج شدن ماده از دامنه کشسان خطی، این قانون کاربرد خود را از دست می‌دهد. موادی که قانون هوک برای آن‌ها تقریب مناسبی باشد، مواد کشسان خطی یا «مواد هوکی» نام دارند. ساده شدهٔ قانون هوک بیان می‌دارد که کرنش با تنش رابطهٔ مستقیم دارد:
F
=
−
k
x
{\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} \ }
که در آن:
x : جابجایی فنر فشرده یا کشیده‌شده از نقطهٔ تعادل آن است. یکای x در دستگاه SI متر است.F : نیروی بازگردانندهٔ وارده از سوی فنر که با جابجایی انتهای فنر مقاومت می‌کند (نیروی مقاومت فنر) است؛ در دستگاه SI یکای آن نیوتن N یا کیلوگرم‌متر بر مجذور ثانیه Kg m s-۲ است.k : ثابت فنر است که در دستگاه SI یکای آن نیوتن بر متر یا کیلوگرم بر مجذور ثانیه است.وقتی چنین رابطه‌ای برای ماده‌ای برقرار باشد، می‌توان گفت که آن ماده رفتار خطی دارد و اگر نتایج آن را بر روی یک نمودار نمایش دهیم می‌بینیم که نتایج به صورت یک خط راست بدست آمده‌اند. علامت منفی در سمت راست رابطهٔ بالا به این دلیل است که نیروی بازگردانندهٔ فنر و جابجایی فنر همواره در جهت مخالف یکدیگر عمل می‌کنند. مثلاً اگر فنر به سمت راست افزایش طول پیدا کند نیروی بازگردانندهٔ آن در سوی مخالف و به سمت چپ یعنی در جهت جمع شدن فنر وارد می‌شود.
قانون هوک پس از قرن ۱۷ میلادی به نام فیزیکدان بریتانیایی رابرت هوک نام‌گذاری شد. وی ابتدا در سال ۱۶۶۰ با عنوان مقلوب لاتین ارائه کرد[ ۳] Ut tensio, sic vis به معنی هرچقدرجابجایی همانقدر نیرو، منتشر کرد.
[ ویرایش ] قانون هوک می‌تواند پیش‌بینی کند که در اثر یک نیروی مشخص چقدر فنر کشیده خواهد شد. موادی که پس از وارد شدن یک نیرو و تغییر شکل به سرعت به حالت اولیهٔ خود بازمی‌گردند و مولکول‌ها و اتم‌های آن‌ها نیز به حالت اولیه و تعادل پایدار پیشین خود بازمی‌گردند، معمولاً از قانون هوک پیروی می‌کنند.
یک میله از جنس یک مادهٔ کشسان را می‌توان مانند یک فنر خطی در نظر گرفت، طول میله L و سطح مقطع آن A است. افزایش طول میله (کرنش) آن به صورت خطی با تنش کششی σ وارد بر آن نسبت خطی ثابت دارد. وارون این نسبت خطی را مدول الاستیسیته E می‌نامند؛ بنابراین:
σ
=
E
ε
{\displaystyle \sigma =E\varepsilon }
یا
Δ
L
=
F
E
A
L
=
σ
E
L
.
{\displaystyle \Delta L={\frac {F}{EA}}L={\frac {\sigma }{E}}L.}
مواد تا زمانی که در بازهٔ کشسانی خود باشند (تنش‌های وارد بر آن‌ها کمتر از تنش تسلیم باشد) از قانون هوک پیروی می‌کنند. در مقابل موادی مانند کائوچو را مواد غیرهوکی می‌نامند در این مواد ویژگی کشسانی ماده به تنش وارد بر آن وابسته‌است و به دمای محیط و نرخ بارگذاری نیز حساس است.
در تغییرشکل‌های کوچک زاویه‌ای، رابطه هوک به صورت زیر بیان می‌شود:
τ
=
G
γ
{\displaystyle \tau =G\gamma }
که در آن، τ تنش برشی اعمال شده بر ماده، γ کرنش زاویه‌ای (برابر تانژانت زاویه پیچش)، و G مدول برشی ماده تحت تنش است. رابطه کرنش زاویه‌ای با زاویه پیچش (θ) به صورت زیر است:[ ۴]
از قانون هوک در ترازوهای فنری، تحلیل تنش و مدل سازی مواد و … استفاده می‌شود.
منحنی تنش-کرنش برای فولاد با کربن کم. قانون هوک تنها میان حالت اولیهٔ فولاد تا زمانی که به نقطهٔ تسلیم برسد بر قرار است. (نقطهٔ شمارهٔ ۲)مقاومت نهایی مقاومت قبل از تسلیم ، مطابق نقطهٔ جاری شدن فولادشکست سخت شدگی باریک شدگی ۰ )می‌توان از معادلهٔ فنر به عنوان پر کاربردترین بیان قانون هوک یاد کرد. قانون هوک برای فنر بیان می‌دارد که نسبت نیروی بازگردانندهٔ وارده از سوی فنر به میزان تغییر شکل فنر برابر است با مقدار ثابتی معروف به ثابت فنر یا k با یکای نیرو بر طول:
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx\,}
علامت منفی در رابطهٔ بالا به این دلیل است که بردارهای نیرو و جابجایی در خلاف جهت یکدیگر بر این سامانه اثر می‌کنند. نیروی بازگردانندهٔ فنر در برابر هر نوع تغییر شکل مقاومت می‌کند و تلاش می‌کند تا فنر را دوباره به حالت تعادل پیشین خود بازگرداند. کارمایه یا انرژی پتانسیل ذخیره شده در فنر برابر است با:
P
E
=
1
2
k
x
2
{\displaystyle PE={1 \over 2}kx^{2}}
که برابر است با انرژی لازم برای اینکه کم‌کم فنر جمع شود یا انتگرال نیرو روی جابجایی. یادآوری می‌شود که مقدار انرژی پتانسیل فنر همواره بزرگتر از صفر است.
انرژی ذخیره شده را می‌توان به صورت یک نمودار سهمی روی محور U-x نمایش داد. وقتی که فنر در جهت محور x کشیده یا فشرده می‌شود (در هر دو حالت) انرژی پتانسیل آن افزایش می یابد. فنر همواره تلاش می‌کند تا با بازگرداندن خود به حالت تعادل انرژی پتانسیلش را آزاد کند (از دست بدهد) درست مانند توپی که از یک بلندی رها می‌شود و انرژی پتانسیل گرانشی خود را از دست می‌دهد (می‌کاهد).
اگر جرم m به انتهای یک فنر بسته شود و پس از کشیده شدن رها گردد، در حالت آرمانی که اصطکاک نداشته باشیم و جرم فنر نسبت به جرم m ناچیز باشد، فنر و جرم همواره نوسان خواهند کرد که سرعت زاویه‌ای آن برابر خواهد بود با:
ω
=
k
m
{\displaystyle \omega ={\sqrt {k \over m}}}
بسامد آن برابر است با:
f
=
1
2
π
k
m
.
{\displaystyle f={1 \over 2\pi }{\sqrt {k \over m}}.}
تذکر: رابطه‌های بالا با این فرض گفته شد که فنر بیش از بازهٔ کشسان خود کشیده نشده‌باشد که در غیر این صورت فنر دچار تغییر شکل همیشگی (بدون بازگشت) می‌شود.
[ ویرایش ] دو فنر را می‌توان به شکل سری یا موازی به یک جرم وصل کرد، که در زیر این دو حالت با یکدیگر مقایسه شده‌اند.
مقایسه
فنرهای موازی
فنرهای سری
ثابت فنر هم‌ارز
k
e
q
=
k
1
+
k
2
{\displaystyle k_{eq}=k_{1}+k_{2}\,}
1
k
e
q
=
1
k
1
+
1
k
2
{\displaystyle {\frac {1}{k_{eq}}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}\,}
طول فشردگی
x
1
=
x
2
{\displaystyle x_{1}=x_{2}\,}
x
1
x
2
=
k
2
k
1
{\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}\,}
انرژی ذخیره شده
E
1
E
2
=
k
1
k
2
{\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}\,}
E
1
E
2
=
k
2
k
1
{\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}\,}
ثابت فنر هم‌ارز (سری)
برای بدست آوردن ثابت فنر هم-ارز دو فنر سری
k
e
q
{\displaystyle k_{eq}}
اگر فرض کنیم میزان تغییر شکل در فنر هم‌ارز (که برابر است با موقعیت مکانی جرم انتهای فنرها) برابر با x۲ باشد، برای بدست آوردن
k
e
q
{\displaystyle k_{eq}}
F
b
=
−
k
e
q
x
2
.
{\displaystyle F_{b}=-k_{eq}x_{2}.\,}
همچنین فرض می‌کنیم که نقطهٔ پیوند میان دو فنر موقعیت x۲ را داشته باشد؛ بنابراین نیروی وارده بر جرم انتهایی برابر است با:
F
b
=
−
k
2
(
x
2
−
x
1
)
.
(
1
)
{\displaystyle F_{b}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right).\quad \quad \quad (1)\,}
همچنین نیروی وارده بر محل پیوند میان دو فنر برابر خواهد بود با:
F
s
=
−
k
1
x
1
+
k
2
(
x
2
−
x
1
)
.
{\displaystyle F_{s}=-k_{1}x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1}).\,}
وقتی که جرم هول داده می‌شود، فنرها فشرده می‌شوند، حال اگر جرم را رها کنیم کل سامانه اجازه پیدا می‌کند تا به حالت تعادل بازگردد وقتی سامانه به سمت تعادل یا نیروی صفر بازمی‌گردد به این معنی است که مجموع نیروهای فنرها برابر با صفر می‌شود. پس
F
s
=
0
{\displaystyle F_{s}=0}
x
1
{\displaystyle x_{1}\,}
−
k
1
x
1
+
k
2
(
x
2
−
x
1
)
=
0
{\displaystyle -k_{1}x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1})=0\,}
−
k
1
x
1
−
k
2
x
1
=
−
k
2
x
2
{\displaystyle -k_{1}x_{1}-k_{2}x_{1}=-k_{2}x_{2}\,}
(
k
1
+
k
2
)
x
1
=
k
2
x
2
{\displaystyle \left(k_{1}+k_{2}\right)x_{1}=k_{2}x_{2}\,}
پس:
x
1
=
k
2
k
1
+
k
2
x
2
.
{\displaystyle x_{1}={\frac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}x_{2}.\,}
مقدار بدست آمدهٔ
x
1
{\displaystyle x_{1}\,}
F
b
{\displaystyle F_{b}\,}
=
−
k
2
x
2
+
k
2
x
1
{\displaystyle =-k_{2}x_{2}+k_{2}x_{1}\,}
=
−
k
2
x
2
+
k
2
(
k
2
k
1
+
k
2
x
2
)
{\displaystyle =-k_{2}x_{2}+k_{2}\left({\frac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}x_{2}\right)\,}
=
−
k
2
x
2
(
k
1
+
k
2
k
1
+
k
2
)
+
k
2
2
k
1
+
k
2
x
2
{\displaystyle =-k_{2}x_{2}\left({\frac {k_{1}+k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\right)+{\frac {k_{2}^{2}}{k_{1}+k_{2}}}x_{2}\,}
=
x
2
−
k
1
k
2
−
k
2
2
+
k
2
2
k
1
+
k
2
{\displaystyle =x_{2}{\frac {-k_{1}k_{2}-k_{2}^{2}+k_{2}^{2}}{k_{1}+k_{2}}}\,}
به این ترتیب نیروی وارده به جرم بدست می‌آید:
F
b
=
−
(
k
1
k
2
k
1
+
k
2
)
x
2
.
{\displaystyle F_{b}=-\left({\frac {k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}\right)x_{2}.\,}
می‌توان گفت که عبارت داخل پرانتز ثابت فنر هم‌ارز این سامانه‌است:
k
e
q
=
k
1
k
2
k
1
+
k
2
.
{\displaystyle k_{eq}={\frac {k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}.\,}
عبارت بالا را بازنویسی می‌کنیم:
1
k
e
q
=
1
k
1
+
1
k
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{k_{eq}}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}.\,}
انرژی ذخیره شده
نسبت انرژی ذخیره شده در دو فنر سری عبارت است از:
E
1
E
2
=
1
2
k
1
a
1
2
1
2
k
2
a
2
2
,
{\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {{\frac {1}{2}}k_{1}a_{1}^{2}}{{\frac {1}{2}}k_{2}a_{2}^{2}}},\,}
پیش تر رابطهٔ میان a1 و a2 را بدست آورده بودیم که در رابطهٔ بالا جایگزین می‌کنیم:
E
1
E
2
=
k
1
k
2
(
k
2
k
1
)
2
=
k
2
k
1
.
{\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}\left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}.\,}
برای فنرهای موازی :
E
1
E
2
=
1
2
k
1
x
2
1
2
k
2
x
2
{\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {{\frac {1}{2}}k_{1}x^{2}}{{\frac {1}{2}}k_{2}x^{2}}}\,}
چون در فنرهای موازی، میزان فشردگی هر دو فنر با هم برابر است، x از دو طرف تساوی ساده می‌شود:
E
1
E
2
=
k
1
k
2
.
{\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}.\,}
[ ویرایش ] تذکر: در ادامه از قرارداد جمع‌زنی اینشتین ، استفاده شده‌است. وقتی که با تنش‌های سه بعدی کار می‌کنیم، از تانسور چهارتایی
c
{\displaystyle {\mathsf {c}}}
c
i
j
k
ℓ
{\displaystyle c_{ijk\ell }}
تانسور تنش
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}
ij تانسور کرنش
ϵ
{\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}
ϵ
k
ℓ
{\displaystyle \epsilon _{k\ell }}
σ
=
c
:
ϵ
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\epsilon }}~.}
اگر عبارت بالا را به همراه جزئیاتش بنویسیم به شکل زیر خواهد بود (با استفاده از قرارداد جمع‌زنی اینشتین ):
σ
i
j
=
c
i
j
k
ℓ
ϵ
k
ℓ
{\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\epsilon _{k\ell }}
تانسور
c
{\displaystyle {\mathsf {c}}}
تانسور سفتی یا تانسور الاستیسیته می‌نامند. به دلیل تقارن تانسورهای تنش و کرنش، در تانسور سفتی تنها ۲۱ ضریب از یکدیگر مستقل‌اند. از آنجایی که یکای تنش همان یکای فشار است و کرنش، یکایی ندارد، پس یکای تمامی درایه‌های تانسور سفتی
c
i
j
k
ℓ
{\displaystyle c_{ijk\ell }}
عبارت عمومی قانون هوک را می‌توان شبیه رابطهٔ میان تنش و کرنش نوشت:
ϵ
=
s
:
σ
o
r
ϵ
i
j
=
s
i
j
k
ℓ
σ
k
ℓ
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\mathsf {s}}:{\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\rm {or}}\qquad \epsilon _{ij}=s_{ijk\ell }~\sigma _{k\ell }~.}
تانسور
s
{\displaystyle {\mathsf {s}}}
تانسور انطباق می‌نامند.
تذکر: برای آگاهی بیشتر دربارهٔ سیالات، مقالهٔ گرانروی را نگاه کنید. ویژگی مواد همسان این است که آن‌ها در جهت‌های مختلف ویژگی‌های یکسان از خود نشان می‌دهند؛ بنابراین معادلات فیزیکی که برای مواد همسان نوشته می‌شود باید مستقل از دستگاه مختصات باشد. تانسور کرنش یک تانسور متقارن است. می‌توان تانسور کرنش را بوسیلهٔ اثر آن و دلتای کرونکر
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
[ ۵] : Ch. 10
ε
i
j
=
(
1
3
ε
k
k
δ
i
j
)
+
(
ε
i
j
−
1
3
ε
k
k
δ
i
j
)
{\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}
با استفاده از جبر تانسورها خواهیم داشت:
ε
=
v
o
l
(
ε
)
+
d
e
v
(
ε
)
;
v
o
l
(
ε
)
:=
1
3
t
r
(
ε
)
I
;
d
e
v
(
ε
)
:=
ε
−
v
o
l
(
ε
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathrm {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\mathrm {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~;~~\mathrm {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }}):={\tfrac {1}{3}}~\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} ~;~~\mathrm {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }}):={\boldsymbol {\varepsilon }}-\mathrm {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}
که
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
V
o
l
{\displaystyle Vol}
انگلیسی : volumetric strain tensor تانسور کرنش حجمی است و عبارت
d
e
v
{\displaystyle dev}
تانسور اعوجاج یا تانسور کرنش برشی یا تانسور انحرافی (به انگلیسی : deviatoric strain tensor
عمومی‌ترین شکل قانون هوک برای مواد همسان به صورت ترکیب خطی این تانسورها نوشته می‌شود:
σ
i
j
=
3
K
(
1
3
ε
k
k
δ
i
j
)
+
2
G
(
ε
i
j
−
1
3
ε
k
k
δ
i
j
)
;
σ
=
3
K
v
o
l
(
ε
)
+
2
G
d
e
v
(
ε
)
{\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,~;~~{\boldsymbol {\sigma }}=3K~\mathrm {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G~\mathrm {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}
در عبارت بالا، K مدول حجمی ، و G مدول برشی است.
با استفاده از مدول الاستیک ، می‌توان رابطهٔ بالا را بیشتر گسترش داد، در نتیجه دیگر نوشتار تانسوری قانون هوک عبارت است از:[ ۶]
σ
=
λ
t
r
(
ε
)
I
+
2
μ
ε
=
c
:
ε
;
c
=
λ
I
⊗
I
+
2
μ
I
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda ~\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} +2\mu ~{\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}~;~~{\mathsf {c}}=\lambda ~\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu ~{\mathsf {I}}}
که در آن
λ
:=
K
−
2
/
3
G
{\displaystyle \lambda :=K-2/3G}
μ
:=
G
{\displaystyle \mu :=G}
ثابت‌های لامه اند،
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
I
{\displaystyle {\mathsf {I}}}
مختصات کارتزین :
σ
i
j
=
λ
ε
k
k
δ
i
j
+
2
μ
ε
i
j
=
c
i
j
k
ℓ
ε
k
ℓ
;
c
i
j
k
ℓ
=
λ
δ
i
j
δ
k
ℓ
+
μ
(
δ
i
k
δ
j
ℓ
+
δ
i
ℓ
δ
j
k
)
{\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda ~\varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu ~\varepsilon _{ij}=c_{ijk\ell }~\varepsilon _{k\ell }~;~~c_{ijk\ell }=\lambda ~\delta _{ij}~\delta _{k\ell }+\mu ~(\delta _{ik}~\delta _{j\ell }+\delta _{i\ell }~\delta _{jk})}
رابطهٔ معکوس عبارت است از:[ ۷]
ε
=
1
2
μ
σ
−
λ
2
μ
(
3
λ
+
2
μ
)
t
r
(
σ
)
I
=
1
2
G
σ
+
(
1
9
K
−
1
6
G
)
t
r
(
σ
)
I
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2\mu }}~{\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}~\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})~\mathbf {I} ={\tfrac {1}{2G}}~{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\tfrac {1}{9K}}-{\tfrac {1}{6G}}\right)~\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})~\mathbf {I} }
بنابراین تانسور انطباق در رابطهٔ
ε
=
s
:
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {s}}:{\boldsymbol {\sigma }}}
s
=
−
λ
2
μ
(
3
λ
+
2
μ
)
I
⊗
I
+
1
2
μ
I
=
(
1
9
K
−
1
6
G
)
I
⊗
I
+
1
2
G
I
{\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\tfrac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}~\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\tfrac {1}{2\mu }}~{\mathsf {I}}=\left({\tfrac {1}{9K}}-{\tfrac {1}{6G}}\right)~\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\tfrac {1}{2G}}~{\mathsf {I}}}
با استفاده از مدول یانگ و ضریب پواسون ، قانون هوک برای مواد همسان را چنین می‌توان نوشت:
ε
=
1
E
σ
−
ν
E
[
t
r
(
σ
)
I
−
σ
]
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{E}}~{\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {\nu }{E}}\left[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})~\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}\right]}
در نتیجه کرنش در جهت‌های مختلف را می‌توان به شکل زیر نوشت:
ε
11
=
1
E
[
σ
11
−
ν
(
σ
22
+
σ
33
)
]
ε
22
=
1
E
[
σ
22
−
ν
(
σ
11
+
σ
33
)
]
ε
33
=
1
E
[
σ
33
−
ν
(
σ
11
+
σ
22
)
]
ε
12
=
1
2
G
σ
12
;
ε
13
=
1
2
G
σ
13
;
ε
23
=
1
2
G
σ
23
{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{22}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{33}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right]\\\varepsilon _{12}&={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{12}~;~~\varepsilon _{13}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{13}~;~~\varepsilon _{23}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{23}\end{aligned}}}
که در آن E مدول الاستیسیته و
ν
{\displaystyle \nu }
ضریب پواسون است.
قانون هوک در سه بعد
قانون هوک در سه بعد را می‌توان با استفاده از ضریب پواسون و شکل یک بعدی این قانون بدست آورد.فرض کنید در اثر نیروی وارده در جهت (۱) کشش داریم و در جهت‌های (۲ و ۳) عمود بر جهت (۱) جمع شدگی داریم:
ε
1
′
=
1
E
σ
1
{\displaystyle \varepsilon _{1}'={\frac {1}{E}}\sigma _{1}}
ε
2
′
=
−
ν
E
σ
1
{\displaystyle \varepsilon _{2}'=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}}
ε
3
′
=
−
ν
E
σ
1
{\displaystyle \varepsilon _{3}'=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}}
که در آن
ν
{\displaystyle \nu }
ضریب پواسون و
E
{\displaystyle E}
مدول یانگ است. معادلهٔ مشابه را در جهت‌های ۲ و ۳ چنین خواهیم داشت:
ε
1
″
=
−
ν
E
σ
2
{\displaystyle \varepsilon _{1}''=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}}
ε
2
″
=
1
E
σ
2
{\displaystyle \varepsilon _{2}''={\frac {1}{E}}\sigma _{2}}
ε
3
″
=
−
ν
E
σ
2
{\displaystyle \varepsilon _{3}''=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}}
و
ε
1
‴
=
−
ν
E
σ
3
{\displaystyle \varepsilon _{1}'''=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}}
ε
2
‴
=
−
ν
E
σ
3
{\displaystyle \varepsilon _{2}'''=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}}
ε
3
‴
=
1
E
σ
3
{\displaystyle \varepsilon _{3}'''={\frac {1}{E}}\sigma _{3}}
با جمع کردن هر سه حالت
ε
i
=
ε
i
′
+
ε
i
″
+
ε
i
‴
{\displaystyle \varepsilon _{i}=\varepsilon _{i}'+\varepsilon _{i}''+\varepsilon _{i}'''}
ε
1
=
1
E
(
σ
1
−
ν
(
σ
2
+
σ
3
)
)
{\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}(\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3}))}
ε
2
=
1
E
(
σ
2
−
ν
(
σ
1
+
σ
3
)
)
{\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}(\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}))}
ε
3
=
1
E
(
σ
3
−
ν
(
σ
1
+
σ
2
)
)
{\displaystyle \varepsilon _{3}={\frac {1}{E}}(\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}))}
پس از فاکتورگیری از
ν
σ
{\displaystyle \nu \sigma }
ε
1
=
1
E
(
(
1
+
ν
)
σ
1
−
ν
(
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
)
)
{\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}))}
ε
2
=
1
E
(
(
1
+
ν
)
σ
2
−
ν
(
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
)
)
{\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}))}
ε
3
=
1
E
(
(
1
+
ν
)
σ
3
−
ν
(
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
)
)
{\displaystyle \varepsilon _{3}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}))}
σ
1
{\displaystyle \sigma _{1}}
σ
1
=
E
1
+
ν
ε
1
+
ν
1
+
ν
(
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
)
{\displaystyle \sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})}
محاسبهٔ مجموع رابطه:
∑
i
=
1
,
2
,
3
ε
i
=
1
E
(
(
1
+
ν
)
∑
i
=
1
,
2
,
3
σ
i
−
3
ν
(
∑
i
=
1
,
2
,
3
σ
i
)
)
=
1
−
2
ν
E
∑
i
=
1
,
2
,
3
σ
i
{\displaystyle \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{i}={\frac {1}{E}}((1+\nu )\sum _{i=1,2,3}\sigma _{i}-3\nu (\sum _{i=1,2,3}\sigma _{i}))={\frac {1-2\nu }{E}}\sum _{i=1,2,3}\sigma _{i}}
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
=
E
1
−
2
ν
(
ε
1
+
ε
2
+
ε
3
)
{\displaystyle \sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}
پس از خلاصه کردن
σ
1
{\displaystyle \sigma _{1}}
σ
1
=
E
1
+
ν
ε
1
+
E
ν
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
(
ε
1
+
ε
2
+
ε
3
)
{\displaystyle \sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}
σ
1
=
2
μ
ε
1
+
λ
(
ε
1
+
ε
2
+
ε
3
)
{\displaystyle \sigma _{1}=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}
که در روابط بالا،
μ
{\displaystyle \mu }
λ
{\displaystyle \lambda }
قانون هوک در قالب ماتریسی برای مواد همسان عبارت است از:
[
ε
11
ε
22
ε
33
2
ε
23
2
ε
31
2
ε
12
]
=
[
ε
11
ε
22
ε
33
γ
23
γ
31
γ
12
]
=
1
E
[
1
−
ν
−
ν
0
0
0
−
ν
1
−
ν
0
0
0
−
ν
−
ν
1
0
0
0
0
0
0
2
(
1
+
ν
)
0
0
0
0
0
0
2
(
1
+
ν
)
0
0
0
0
0
0
2
(
1
+
ν
)
]
[
σ
11
σ
22
σ
33
σ
23
σ
31
σ
12
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{31}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2(1+\nu )&0&0\\0&0&0&0&2(1+\nu )&0\\0&0&0&0&0&2(1+\nu )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}
که در آن
γ
i
j
:=
2
ε
i
j
{\displaystyle \gamma _{ij}:=2\varepsilon _{ij}}
کرنش برشی است. معکوس رابطه چنین است:
[
σ
11
σ
22
σ
33
σ
23
σ
31
σ
12
]
=
E
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
[
1
−
ν
ν
ν
0
0
0
ν
1
−
ν
ν
0
0
0
ν
ν
1
−
ν
0
0
0
0
0
0
(
1
−
2
ν
)
/
2
0
0
0
0
0
0
(
1
−
2
ν
)
/
2
0
0
0
0
0
0
(
1
−
2
ν
)
/
2
]
[
ε
11
ε
22
ε
33
2
ε
23
2
ε
31
2
ε
12
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&(1-2\nu )/2&0&0\\0&0&0&0&(1-2\nu )/2&0\\0&0&0&0&0&(1-2\nu )/2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
با استفاده از ثابت‌های لامه، رابطهٔ بالا را ساده می‌کنیم:
[
σ
11
σ
22
σ
33
σ
23
σ
31
σ
12
]
=
[
2
μ
+
λ
λ
λ
0
0
0
λ
2
μ
+
λ
λ
0
0
0
λ
λ
2
μ
+
λ
0
0
0
0
0
0
μ
0
0
0
0
0
0
μ
0
0
0
0
0
0
μ
]
[
ε
11
ε
22
ε
33
2
ε
23
2
ε
31
2
ε
12
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
[ ویرایش ] در اثر تنش‌های صفحه‌ای، تنش در بعد سوم به شکل
σ
33
=
σ
31
=
σ
13
=
σ
32
=
σ
23
=
0
{\displaystyle \sigma _{33}=\sigma _{31}=\sigma _{13}=\sigma _{32}=\sigma _{23}=0}
[
ε
11
ε
22
2
ε
12
]
=
1
E
[
1
−
ν
0
−
ν
1
0
0
0
2
(
1
+
ν
)
]
[
σ
11
σ
22
σ
12
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2(1+\nu )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}
وارون رابطه به صورت زیر خواهد بود:
[
σ
11
σ
22
σ
12
]
=
E
1
−
ν
2
[
1
ν
0
ν
1
0
0
0
1
−
ν
2
]
[
ε
11
ε
22
2
ε
12
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\cfrac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
تقارن تانسور تنش کوشی (
σ
i
j
=
σ
j
i
{\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,}
σ
i
j
=
c
i
j
k
ℓ
ϵ
k
ℓ
{\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\epsilon _{k\ell }}
c
i
j
k
ℓ
=
c
j
i
k
ℓ
{\displaystyle c_{ijk\ell }=c_{jik\ell }\,}
تانسور کرنش‌های بسیار کوچک می‌توان نتیجه گرفت که
c
i
j
k
ℓ
=
c
i
j
ℓ
k
{\displaystyle c_{ijk\ell }=c_{ij\ell k}\,}
تقارن خردِ [ ۸] تانسور سفتی می‌نامند (
c
{\displaystyle {\mathsf {c}}}
آنگاه که گرادیان تغییرشکل‌ها و تنش کوشی با هم کار کنند، رابطهٔ تنش - کرنش را می‌توان از تابع چگالی انرژی تغییر شکل‌ها (
U
{\displaystyle {\mathsf {U}}}
σ
i
j
=
∂
U
∂
ϵ
i
j
⟹
c
i
j
k
ℓ
=
∂
2
U
∂
ϵ
i
j
∂
ϵ
k
ℓ
.
{\displaystyle \sigma _{ij}={\cfrac {\partial U}{\partial \epsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijk\ell }={\cfrac {\partial ^{2}U}{\partial \epsilon _{ij}\partial \epsilon _{k\ell }}}~.}
از دلخواه بودن ترتیب دیفرانسیل‌ها می‌توان نتیجه گرفت که
c
i
j
k
ℓ
=
c
k
ℓ
i
j
{\displaystyle c_{ijk\ell }=c_{k\ell ij}\,}
تقارن بزرگ [ ۹]
[ ویرایش ] معمول است که قانون هوک برای مواد نامسان را به صورت ماتریسی نیز توضیح دهند که آن را مفهوم وویت نیز می‌نامند. برای این کار باید از تقارن تانسورهای تنش و کرنش استفاده کرد و آن‌ها را به صورت یک بردار شش بُعدی در یک دستگاه مختصات متعامد[ ۱۰]
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}
[
σ
]
=
[
σ
11
σ
22
σ
33
σ
23
σ
31
σ
12
]
≡
[
σ
1
σ
2
σ
3
σ
4
σ
5
σ
6
]
;
[
ϵ
]
=
[
ϵ
11
ϵ
22
ϵ
33
2
ϵ
23
2
ϵ
31
2
ϵ
12
]
≡
[
ϵ
1
ϵ
2
ϵ
3
ϵ
4
ϵ
5
ϵ
6
]
{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}~;~~[{\boldsymbol {\epsilon }}]={\begin{bmatrix}\epsilon _{11}\\\epsilon _{22}\\\epsilon _{33}\\2\epsilon _{23}\\2\epsilon _{31}\\2\epsilon _{12}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\epsilon _{1}\\\epsilon _{2}\\\epsilon _{3}\\\epsilon _{4}\\\epsilon _{5}\\\epsilon _{6}\end{bmatrix}}}
آنگاه تانسور سفتی (
c
{\displaystyle {\mathsf {c}}}
[
C
]
=
[
c
1111
c
1122
c
1133
c
1123
c
1131
c
1112
c
2211
c
2222
c
2233
c
2223
c
2231
c
2212
c
3311
c
3322
c
3333
c
3323
c
3331
c
3312
c
2311
c
2322
c
2333
c
2323
c
2331
c
2312
c
3111
c
3122
c
3133
c
3123
c
3131
c
3112
c
1211
c
1222
c
1233
c
1223
c
1231
c
1212
]
≡
[
C
11
C
12
C
13
C
14
C
15
C
16
C
12
C
22
C
23
C
24
C
25
C
26
C
13
C
23
C
33
C
34
C
35
C
36
C
14
C
24
C
34
C
44
C
45
C
46
C
15
C
25
C
35
C
45
C
55
C
56
C
16
C
26
C
36
C
46
C
56
C
66
]
{\displaystyle [{\mathsf {C}}]={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}
قانون هوک به گونهٔ زیر نوشته می‌شود:
[
σ
]
=
[
C
]
[
ϵ
]
or
σ
i
=
C
i
j
ϵ
j
.
{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\epsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\epsilon _{j}~.}
به روش مشابه تانسور (
s
{\displaystyle {\mathsf {s}}}
[
S
]
=
[
s
1111
s
1122
s
1133
2
s
1123
2
s
1131
2
s
1112
s
2211
s
2222
s
2233
2
s
2223
2
s
2231
2
s
2212
s
3311
s
3322
s
3333
2
s
3323
2
s
3331
2
s
3312
2
s
2311
2
s
2322
2
s
2333
4
s
2323
4
s
2331
4
s
2312
2
s
3111
2
s
3122
2
s
3133
4
s
3123
4
s
3131
4
s
3112
2
s
1211
2
s
1222
2
s
1233
4
s
1223
4
s
1231
4
s
1212
]
≡
[
S
11
S
12
S
13
S
14
S
15
S
16
S
12
S
22
S
23
S
24
S
25
S
26
S
13
S
23
S
33
S
34
S
35
S
36
S
14
S
24
S
34
S
44
S
45
S
46
S
15
S
25
S
35
S
45
S
55
S
56
S
16
S
26
S
36
S
46
S
56
S
66
]
{\displaystyle [{\mathsf {S}}]={\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}
اگر یک مادهٔ کشسان خطی (الاستکیک خطی) را از حالت مرجع به حالتی دیگر دوران دهیم، آن ماده در برابر دوران متقارن باقی می‌ماند اگر اجزای تانسور سفتی را نیز باید با توجه به حالت جدید دوران داد[ ۱۱]
c
p
q
r
s
=
l
p
i
l
q
j
l
r
k
l
s
ℓ
c
i
j
k
ℓ
{\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}~l_{qj}~l_{rk}~l_{s\ell }~c_{ijk\ell }}
که در آن
l
a
b
{\displaystyle l_{ab}}
ماتریس متعامد دوران به نام
[
L
]
{\displaystyle [L]}
در جبر ماتریس‌ها داریم که اگر ماتریس تغییر یافته (به صورت وارون یا دوران) خود وابسته به ماتریس‌های دیگر باشد، اجزای آن خود دچار تغییر شکل می‌شوند. برای نمونه اگر:
[
e
i
′
]
=
[
L
]
[
e
i
]
{\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}
آنگاه
C
i
j
ϵ
i
ϵ
j
=
C
i
j
′
ϵ
i
′
ϵ
j
′
.
{\displaystyle C_{ij}~\epsilon _{i}~\epsilon _{j}=C_{ij}'~\epsilon '_{i}~\epsilon '_{j}~.}
همچنین اگر ماده نسبت به ماتریس تغییر شکل
[
L
]
{\displaystyle [L]}
C
i
j
=
C
i
j
′
⟹
C
i
j
(
ϵ
i
ϵ
j
−
ϵ
i
′
ϵ
j
′
)
=
0
.
{\displaystyle C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}~(\epsilon _{i}~\epsilon _{j}-\epsilon '_{i}~\epsilon '_{j})=0~.}
مواد راست‌محور (به انگلیسی : Orthotropic materials راست تقارن‌اند. اگر بردارهای پایهٔ (
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}
[
σ
1
σ
2
σ
3
σ
4
σ
5
σ
6
]
=
[
C
11
C
12
C
13
0
0
0
C
12
C
22
C
23
0
0
0
C
13
C
23
C
33
0
0
0
0
0
0
C
44
0
0
0
0
0
0
C
55
0
0
0
0
0
0
C
66
]
[
ϵ
1
ϵ
2
ϵ
3
ϵ
4
ϵ
5
ϵ
6
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\epsilon _{1}\\\epsilon _{2}\\\epsilon _{3}\\\epsilon _{4}\\\epsilon _{5}\\\epsilon _{6}\end{bmatrix}}}
وارون رابطهٔ بالا چنین نوشته می‌شود:[ ۱۲]
[
ϵ
x
x
ϵ
y
y
ϵ
z
z
2
ϵ
y
z
2
ϵ
z
x
2
ϵ
x
y
]
=
[
1
E
x
−
ν
x
y
E
x
−
ν
x
z
E
x
0
0
0
−
ν
y
x
E
y
1
E
y
−
ν
y
z
E
y
0
0
0
−
ν
z
x
E
z
−
ν
z
y
E
z
1
E
z
0
0
0
0
0
0
1
G
y
z
0
0
0
0
0
0
1
G
z
x
0
0
0
0
0
0
1
G
x
y
]
[
σ
x
x
σ
y
y
σ
z
z
σ
y
z
σ
z
x
σ
x
y
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{\rm {xx}}\\\epsilon _{\rm {yy}}\\\epsilon _{\rm {zz}}\\2\epsilon _{\rm {yz}}\\2\epsilon _{\rm {zx}}\\2\epsilon _{\rm {xy}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {y}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {y}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yz}}}{E_{\rm {y}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zy}}}{E_{\rm {z}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{\rm {xx}}\\\sigma _{\rm {yy}}\\\sigma _{\rm {zz}}\\\sigma _{\rm {yz}}\\\sigma _{\rm {zx}}\\\sigma _{\rm {xy}}\end{bmatrix}}}
که در آن:
E
i
{\displaystyle {E}_{\rm {i}}\,}
مدول یانگ در طول محور
i
{\displaystyle i}
G
i
j
{\displaystyle G_{\rm {ij}}\,}
مدول برشی در راستای
j
{\displaystyle j}
i
{\displaystyle i}
ν
i
j
{\displaystyle \nu _{\rm {ij}}\,}
j
{\displaystyle j}
i
{\displaystyle i}
در صفحهٔ تنش
σ
z
z
=
σ
z
x
=
σ
y
z
=
0
{\displaystyle \sigma _{zz}=\sigma _{zx}=\sigma _{yz}=0}
[
ε
x
x
ε
y
y
2
ε
x
y
]
=
[
1
E
x
−
ν
x
y
E
x
0
−
ν
y
x
E
y
1
E
y
0
0
0
1
G
x
y
]
[
σ
x
x
σ
y
y
σ
x
y
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{\rm {xx}}\\\varepsilon _{\rm {yy}}\\2\varepsilon _{\rm {xy}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\frac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&0\\-{\frac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {y}}}}&{\frac {1}{E_{\rm {y}}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{\rm {xy}}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{\rm {xx}}\\\sigma _{\rm {yy}}\\\sigma _{\rm {xy}}\end{bmatrix}}\,.}
وارون رابطه خواهد بود:
[
σ
x
x
σ
y
y
σ
x
y
]
=
1
1
−
ν
x
y
ν
y
x
[
E
x
ν
x
y
E
y
0
ν
y
x
E
x
E
y
0
0
0
G
x
y
(
1
−
ν
x
y
ν
y
x
)
]
[
ε
x
x
ε
y
y
2
ε
x
y
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{\rm {xx}}\\\sigma _{\rm {yy}}\\\sigma _{\rm {xy}}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{\rm {xy}}\nu _{\rm {yx}}}}{\begin{bmatrix}E_{\rm {x}}&\nu _{\rm {xy}}E_{\rm {y}}&0\\\nu _{\rm {yx}}E_{\rm {x}}&E_{y}&0\\0&0&G_{\rm {xy}}(1-\nu _{\rm {xy}}\nu _{\rm {yx}})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{\rm {xx}}\\\varepsilon _{\rm {yy}}\\2\varepsilon _{\rm {xy}}\end{bmatrix}}\,.}
یک مادهٔ همسان جانبی با چرخش نسبت به یک محور تقارن همسان باقی می‌ماند. برای چنین ماده‌ای اگر
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}}
[
σ
1
σ
2
σ
3
σ
4
σ
5
σ
6
]
=
[
C
11
C
12
C
13
0
0
0
C
12
C
11
C
13
0
0
0
C
13
C
13
C
33
0
0
0
0
0
0
C
44
0
0
0
0
0
0
C
44
0
0
0
0
0
0
1
2
(
C
11
−
C
12
)
]
[
ϵ
1
ϵ
2
ϵ
3
ϵ
4
ϵ
5
ϵ
6
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{2}}(C_{11}-C_{12})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\epsilon _{1}\\\epsilon _{2}\\\epsilon _{3}\\\epsilon _{4}\\\epsilon _{5}\\\epsilon _{6}\end{bmatrix}}}
معمول است که
x
≡
e
1
{\displaystyle x\equiv \mathbf {e} _{1}}
[ ۱۳]
[
ϵ
x
x
ϵ
y
y
ϵ
z
z
2
ϵ
y
z
2
ϵ
z
x
2
ϵ
x
y
]
=
[
1
E
x
−
ν
x
y
E
x
−
ν
x
y
E
x
0
0
0
−
ν
y
x
E
y
1
E
y
−
ν
y
z
E
y
0
0
0
−
ν
y
x
E
y
−
ν
z
y
E
y
1
E
y
0
0
0
0
0
0
2
(
1
+
ν
y
z
)
E
y
0
0
0
0
0
0
1
G
x
y
0
0
0
0
0
0
1
G
x
y
]
[
σ
x
x
σ
y
y
σ
z
z
σ
y
z
σ
z
x
σ
x
y
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{\rm {xx}}\\\epsilon _{\rm {yy}}\\\epsilon _{\rm {zz}}\\2\epsilon _{\rm {yz}}\\2\epsilon _{\rm {zx}}\\2\epsilon _{\rm {xy}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {y}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {y}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yz}}}{E_{\rm {y}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {y}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zy}}}{E_{\rm {y}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {y}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {yz}})}{E_{\rm {y}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{\rm {xx}}\\\sigma _{\rm {yy}}\\\sigma _{\rm {zz}}\\\sigma _{\rm {yz}}\\\sigma _{\rm {zx}}\\\sigma _{\rm {xy}}\end{bmatrix}}}
[ ویرایش ] تغییر شکل‌های خطی مواد کشسان را می‌توان به مفهوم فرایند بی‌دررو نزدیک دانست. با فرض این وضعیت و برای فرایندهای شِبهِ ایستا، قانون اول ترمودینامیک برای یک حجم تغییر شکل یافته به صورت زیر گفته می‌شود:
δ
W
=
δ
U
{\displaystyle \delta W=\delta U\,}
که در آن
δ
U
{\displaystyle \delta U}
انرژی درونی افزایش یافته و
δ
W
{\displaystyle \delta W}
کار انجام شده بوسیلهٔ نیروی خارجی است. اجزای کار را می‌توان به صورت زیر از هم جدا کرد:
δ
W
=
δ
W
s
+
δ
W
b
{\displaystyle \delta W=\delta W_{s}+\delta W_{b}\,}
که در آن
δ
W
s
{\displaystyle \delta W_{s}}
نیروی سطحی است و
δ
W
b
{\displaystyle \delta W_{b}}
نیروی حجمی است. اگر
δ
u
{\displaystyle \delta \mathbf {u} }
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
δ
W
s
=
∫
∂
Ω
t
⋅
δ
u
d
S
;
δ
W
b
=
∫
Ω
b
⋅
δ
u
d
V
{\displaystyle \delta W_{s}=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \delta \mathbf {u} ~{\rm {dS}}~;~~\delta W_{b}=\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} ~{\rm {dV}}}
که در آن
t
{\displaystyle \mathbf {t} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
Ω
{\displaystyle \Omega \,}
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
t
=
n
⋅
σ
{\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}}
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
δ
W
=
δ
U
=
∫
∂
Ω
(
n
⋅
σ
)
⋅
δ
u
d
S
+
∫
Ω
b
⋅
δ
u
d
V
{\displaystyle \delta W=\delta U=\int _{\partial \Omega }(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\cdot \delta \mathbf {u} ~{\rm {dS}}+\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} ~{\rm {dV}}}
با تبدیل انتگرال سطحی به انتگرال حجمی با استفاده از نظریهٔ دیورژانس خواهیم داشت:
δ
U
=
∫
Ω
[
∇
⋅
(
σ
⋅
δ
u
)
+
b
⋅
δ
u
]
d
V
.
{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }[{\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u} )+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} ]~{\rm {dV}}~.}
با کاربرد تنش کوشی:
∇
⋅
(
A
⋅
b
)
=
(
∇
⋅
A
)
⋅
b
+
1
2
[
A
T
:
∇
b
+
A
:
(
∇
b
)
T
]
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {b} )=({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {A}}^{T}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} +{\boldsymbol {A}}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} )^{T}]}
داریم:
δ
U
=
∫
Ω
[
σ
:
1
2
{
∇
δ
u
+
(
∇
δ
u
)
T
}
+
{
∇
⋅
σ
+
b
}
⋅
δ
u
]
d
V
.
{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }[{\boldsymbol {\sigma }}:{\tfrac {1}{2}}\{{\boldsymbol {\nabla }}\delta \mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\delta \mathbf {u} )^{T}\}+\{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} \}\cdot \delta \mathbf {u} ]~{\rm {dV}}~.}
از تعریف کرنش و معادلات تعادل بدست می‌آید که:
δ
ϵ
=
1
2
[
∇
δ
u
+
(
∇
δ
u
)
T
]
;
∇
⋅
σ
+
b
=
0
.
{\displaystyle \delta {\boldsymbol {\epsilon }}={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\delta \mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\delta \mathbf {u} )^{T}]~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0} ~.}
بنابراین می‌توان نوشت:
δ
U
=
∫
Ω
σ
:
δ
ϵ
d
V
{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\epsilon }}~{\rm {dV}}}
پس برای تغییرات چگالی انرژی درونی داریم:
δ
U
0
=
σ
:
δ
ϵ
.
{\displaystyle \delta U_{0}={\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\epsilon }}~.}
یک مادهٔ کشسان ماده‌ای است که در آن تمامی انرژی درونی برابر است با انرژی پتانسیل نیروهای درونی (همچنین آن را انرژی تغییر شکل‌های کشسان نیز می‌نامند) بنابراین چگالی انرژی درونی تابعی از تغییر شکل‌ها
U
0
=
U
0
(
ϵ
)
{\displaystyle U_{0}=U_{0}({\boldsymbol {\epsilon }})}
δ
U
0
=
∂
U
0
∂
ϵ
:
δ
ϵ
.
{\displaystyle \delta U_{0}={\cfrac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\epsilon }}}}:\delta {\boldsymbol {\epsilon }}~.}
از آن جایی که تغییرات کرنش دلخواه است، رابطهٔ تنش - کرنش یک مادهٔ کشسان به صورت زیر داده می‌شود:
σ
=
∂
U
0
∂
ϵ
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\epsilon }}}}~.}
برای یک مادهٔ کشسان خطی، کمیت
∂
U
0
/
∂
ϵ
{\displaystyle \partial U_{0}/\partial {\boldsymbol {\epsilon }}}
تابع خطی از
ϵ
{\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}
σ
=
c
:
ϵ
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\epsilon }}}
که در آن
c
{\displaystyle {\mathsf {c}}}
تانسور سفتی نیز می‌نامند.
↑ والتر لوین (October 1, 1999). Hook's Law, Simple Harmonic Oscillator. MIT Course 8.01: Classical Mechanics, Lecture 10 MIT OCW . Event occurs at 1:21-10:10. Archived from the original on 29 June 2011. Retrieved December 23, 2010 . ...arguably the most important equation in all of Physics. {{cite AV media }}: نگهداری یادکرد:ربات:وضعیت نامعلوم پیوند اصلی (link )↑ والتر لوین (October 1, 1999). Hook's Law, Simple Harmonic Oscillator. MIT Course 8.01: Classical Mechanics, Lecture 10 MIT OCW . Event occurs at 10:10-16:33. Archived from the original (ogg) on 29 June 2011. Retrieved December 23, 2010 .↑ The anagram was "ceiiinosssttuv", [۱] بایگانی‌شده در ۱۳ نوامبر ۲۰۱۰ توسط Wayback Machine ;
cf. the anagram for the Catenary , which appeared in the preceding paragraph.
↑ Dieter George E. ,Mechanical Metallurgy, McGraw-Hill, New York ,1961 ,pp 16,37
↑ Symon, Keith (1971). Mechanics . Addison-Wesley, Reading, MA. ISBN 0-201-07392-7 ↑ Simo, J. C. and Hughes, T. J. R. , 1998, Computational Inelasticity , Springer.
↑ Milton, G. W. , 2002, Theory of Composites , Cambridge University Press.
↑ minor symmetries
↑ major symmetries
↑ دستگاهی با بردارهای یکه و دو به دو متعامد
↑ Slaughter, W. S. , 2002, The Linearized Theory of Elasticity , Birkhauser
↑ Boresi, A. P, Schmidt, R. J. and Sidebottom, O. M. , 1993, Advanced Mechanics of Materials , Wiley.
↑ Tan, S. C. , 1994, Stress Concentrations in Laminated Composites , Technomic Publishing Company, Lancaster, PA.
A.C. Ugural, S.K. Fenster, Advanced Strength and Applied Elasticity , 4th ed
رابطه‌های تبدیل مدول‌ها به یکدیگر
خواص کشسانی مواد کشسان خطی همگن و همسانگرد را می‌توان با داشتن دو مدول دلخواه به طور کامل و منحصر به فردی تعیین کرد. بنابراین با در دست داشتن دو مدول و با استفاده از فرمول‌های زیر می‌توان سایر مدول‌ها را محاسبه کرد.
K
=
{\displaystyle K=\,}
E
=
{\displaystyle E=\,}
λ
=
{\displaystyle \lambda =\,}
G
=
{\displaystyle G=\,}
ν
=
{\displaystyle \nu =\,}
M
=
{\displaystyle M=\,}
توضیحات
(
K
,
E
)
{\displaystyle (K,\,E)}
K
{\displaystyle K}
E
{\displaystyle E}
3
K
(
3
K
−
E
)
9
K
−
E
{\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}
3
K
E
9
K
−
E
{\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}
3
K
−
E
6
K
{\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}
3
K
(
3
K
+
E
)
9
K
−
E
{\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}
(
K
,
λ
)
{\displaystyle (K,\,\lambda )}
K
{\displaystyle K}
9
K
(
K
−
λ
)
3
K
−
λ
{\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}
λ
{\displaystyle \lambda }
3
(
K
−
λ
)
2
{\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}
λ
3
K
−
λ
{\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}
3
K
−
2
λ
{\displaystyle 3K-2\lambda \,}
(
K
,
G
)
{\displaystyle (K,\,G)}
K
{\displaystyle K}
9
K
G
3
K
+
G
{\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}
K
−
2
G
3
{\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}
G
{\displaystyle G}
3
K
−
2
G
2
(
3
K
+
G
)
{\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}
K
+
4
G
3
{\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}
(
K
,
ν
)
{\displaystyle (K,\,\nu )}
K
{\displaystyle K}
3
K
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}
3
K
ν
1
+
ν
{\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}
3
K
(
1
−
2
ν
)
2
(
1
+
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}
ν
{\displaystyle \nu }
3
K
(
1
−
ν
)
1
+
ν
{\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}
(
K
,
M
)
{\displaystyle (K,\,M)}
K
{\displaystyle K}
9
K
(
M
−
K
)
3
K
+
M
{\displaystyle {\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}}
3
K
−
M
2
{\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}}
3
(
M
−
K
)
4
{\displaystyle {\tfrac {3(M-K)}{4}}}
3
K
−
M
3
K
+
M
{\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}
M
{\displaystyle M}
(
E
,
λ
)
{\displaystyle (E,\,\lambda )}
E
+
3
λ
+
R
6
{\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}
E
{\displaystyle E}
λ
{\displaystyle \lambda }
E
−
3
λ
+
R
4
{\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}
2
λ
E
+
λ
+
R
{\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}}
E
−
λ
+
R
2
{\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}}
R
=
E
2
+
9
λ
2
+
2
E
λ
{\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}
(
E
,
G
)
{\displaystyle (E,\,G)}
E
G
3
(
3
G
−
E
)
{\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}
E
{\displaystyle E}
G
(
E
−
2
G
)
3
G
−
E
{\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}
G
{\displaystyle G}
E
2
G
−
1
{\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}
G
(
4
G
−
E
)
3
G
−
E
{\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}
(
E
,
ν
)
{\displaystyle (E,\,\nu )}
E
3
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}
E
{\displaystyle E}
E
ν
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
E
2
(
1
+
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}
ν
{\displaystyle \nu }
E
(
1
−
ν
)
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
(
E
,
M
)
{\displaystyle (E,\,M)}
3
M
−
E
+
S
6
{\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}}
E
{\displaystyle E}
M
−
E
+
S
4
{\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4}}}
3
M
+
E
−
S
8
{\displaystyle {\tfrac {3M+E-S}{8}}}
E
−
M
+
S
4
M
{\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}}
M
{\displaystyle M}
S
=
±
E
2
+
9
M
2
−
10
E
M
{\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}
There are two valid solutions.
ν
≥
0
{\displaystyle \nu \geq 0}
ν
≤
0
{\displaystyle \nu \leq 0}
(
λ
,
G
)
{\displaystyle (\lambda ,\,G)}
λ
+
2
G
3
{\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}
G
(
3
λ
+
2
G
)
λ
+
G
{\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}
λ
{\displaystyle \lambda }
G
{\displaystyle G}
λ
2
(
λ
+
G
)
{\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}
λ
+
2
G
{\displaystyle \lambda +2G\,}
(
λ
,
ν
)
{\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}
λ
(
1
+
ν
)
3
ν
{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}
λ
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
ν
{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
(
1
−
2
ν
)
2
ν
{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}
ν
{\displaystyle \nu }
λ
(
1
−
ν
)
ν
{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}
Cannot be used when
ν
=
0
⇔
λ
=
0
{\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0}
(
λ
,
M
)
{\displaystyle (\lambda ,\,M)}
M
+
2
λ
3
{\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}}
(
M
−
λ
)
(
M
+
2
λ
)
M
+
λ
{\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}}
λ
{\displaystyle \lambda }
M
−
λ
2
{\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}}
λ
M
+
λ
{\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}}
M
{\displaystyle M}
(
G
,
ν
)
{\displaystyle (G,\,\nu )}
2
G
(
1
+
ν
)
3
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}
2
G
(
1
+
ν
)
{\displaystyle 2G(1+\nu )\,}
2
G
ν
1
−
2
ν
{\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}
G
{\displaystyle G}
ν
{\displaystyle \nu }
2
G
(
1
−
ν
)
1
−
2
ν
{\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}
(
G
,
M
)
{\displaystyle (G,\,M)}
M
−
4
G
3
{\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}
G
(
3
M
−
4
G
)
M
−
G
{\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}
M
−
2
G
{\displaystyle M-2G\,}
G
{\displaystyle G}
M
−
2
G
2
M
−
2
G
{\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}
M
{\displaystyle M}
(
ν
,
M
)
{\displaystyle (\nu ,\,M)}
M
(
1
+
ν
)
3
(
1
−
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}}
M
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
1
−
ν
{\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}}
M
ν
1
−
ν
{\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}
M
(
1
−
2
ν
)
2
(
1
−
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}}
ν
{\displaystyle \nu }
M
{\displaystyle M}
![{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{E}}~{\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {\nu }{E}}\left[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})~\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc090a0b7a22dbb3b6b8a96da198f2724ea97d4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{22}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{33}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right]\\\varepsilon _{12}&={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{12}~;~~\varepsilon _{13}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{13}~;~~\varepsilon _{23}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{23}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2eddece12ec436dd52304e84e80c7bffcbb035a)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}~;~~[{\boldsymbol {\epsilon }}]={\begin{bmatrix}\epsilon _{11}\\\epsilon _{22}\\\epsilon _{33}\\2\epsilon _{23}\\2\epsilon _{31}\\2\epsilon _{12}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\epsilon _{1}\\\epsilon _{2}\\\epsilon _{3}\\\epsilon _{4}\\\epsilon _{5}\\\epsilon _{6}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c73970472edc29708b65553460a73ace3b8836)
![{\displaystyle [{\mathsf {C}}]={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43b066624a968805befbe38322ecc88dacedd69)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\epsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\epsilon _{j}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e19e39822a3d35ac95d3e1bfbbbe8c6ce9f6e2)
![{\displaystyle [{\mathsf {S}}]={\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd11f0a87453a6617316935c209c61b7bf92594)
![{\displaystyle [L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1eba88cad4b17de726ed2c779b29eecdf5819a2)
![{\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213d0bb55cc1da894c855871790e09d78635c17b)
![{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }[{\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u} )+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} ]~{\rm {dV}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5db919a98dacb069b6f259f54e85ffa67ee7c2c)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {b} )=({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {A}}^{T}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} +{\boldsymbol {A}}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} )^{T}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3c9ce647767c5a027d1de317ce5509ceca4316)
![{\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }[{\boldsymbol {\sigma }}:{\tfrac {1}{2}}\{{\boldsymbol {\nabla }}\delta \mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\delta \mathbf {u} )^{T}\}+\{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} \}\cdot \delta \mathbf {u} ]~{\rm {dV}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e59183a4875e1d9c8153bf2a03d5bab2d503461)
![{\displaystyle \delta {\boldsymbol {\epsilon }}={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\delta \mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\delta \mathbf {u} )^{T}]~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0} ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52b710a8525d89d8f47d85a2bc802976d114cd6)
